过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线,切点为A、B,所作割线交圆于C、D两点,C在P、D之间.在弦CD上取一点Q,使∠DAQ∠PBC.求证:∠DBQ∠PAC.
二、(本题50分)设三角形的三边长分别是正整数l,m,
.且lm
0.lm
333已知444,其中xx-x,而x表示不超过x的最大整数.求这种三角形周长的最小101010值.
三、(本题50分)1由
个点和这些点之间的l条连线段组成一个空间图形,其中
q2q1,lqq121,q2,q∈N.已2知此图中任四点不共面,每点至少有一条连线段,存在一点至少有q2条连线段.证明:图中必存在一个空间四边形即由四点A、B、C、D和四条连线段AB、BC、CD、DA组成的图形.
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f2003年全国高中数学联赛
冯惠愚
1997年全国高中数学联赛解答第一试一、选择题每小题6分,共36分1.删去正整数数列1,2,3,……中的所有完全平方数,得到一个新数列.这个数列的第2003项是A2046B2047C2048D2049解:4522025,4622116.在1至2025之间有完全平方数45个,而2026至2115之间没有完全平方数.故1至2025中共有新数列中的2025-451980项.还缺2003-198023项.由2025232048.知选C.2.设a,b∈R,ab≠0,那么直线ax-yb0和曲线bx2ay2ab的图形是
yyyy
O
x
O
x
O
x
O
x
A
B
C
D
x2y2解:曲线方程为1,直线方程为yaxb.ab由直线图形,可知A、C中的a0,A图的b0,C图的b0,与A、C中曲线为椭圆矛盾.由直线图形,可知B、D中的a0,b0,则曲线为焦点在x轴上的双曲线,故选B.3.过抛物线y28x2的焦点F作倾斜角为60°的直线,若此直线与抛物线交于A、B两点,弦AB的中垂线与x轴交于点P,则线段PF的长等于16816ABC3D83333p4解:抛物线的焦点为原点0,0,弦AB所在直线方程为y3x,弦的中点在y上,即AB中点k34434416为,,中垂线方程为y-x-,令y0,得点P的坐标为.33333316∴PF.选A.3524.若x∈-,-,则yta
x-ta
xcosx的最大值是12336612111112A2B2C3D3566525解:令xu,则xu,当x∈-,-时,u∈-,-,632123462y-cotuta
ucosu-cosu.在u∈-,-时,si
2u与cosu都单调递增,从而y单调递si
2u4611增.于是u-时,y取得最大值3,故选C.66495.已知x,y都在区间-2,2内,且xy-1,则函数u的最小值是4-x29-y28241212ABCD5117r