过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A、B，所作割线交圆于C、D两点，C在P、D之间．在弦CD上取一点Q，使∠DAQ∠PBC．求证：∠DBQ∠PAC．
二、（本题50分）设三角形的三边长分别是正整数l，m，
．且lm
0．lm
333已知444，其中xx－x，而x表示不超过x的最大整数．求这种三角形周长的最小101010值．
三、（本题50分）1由
个点和这些点之间的l条连线段组成一个空间图形，其中
q2q1，lqq121，q2，q∈N．已2知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q2条连线段．证明：图中必存在一个空间四边形即由四点A、B、C、D和四条连线段AB、BC、CD、DA组成的图形．
3
f2003年全国高中数学联赛
冯惠愚
1997年全国高中数学联赛解答第一试一、选择题每小题6分，共36分1．删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列的第2003项是A2046B2047C2048D2049解：4522025，4622116．在1至2025之间有完全平方数45个，而2026至2115之间没有完全平方数．故1至2025中共有新数列中的2025－451980项．还缺2003－198023项．由2025232048．知选C．2．设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－yb0和曲线bx2ay2ab的图形是
yyyy
O
x
O
x
O
x
O
x
A
B
C
D
x2y2解：曲线方程为1，直线方程为yaxb．ab由直线图形，可知A、C中的a0，A图的b0，C图的b0，与A、C中曲线为椭圆矛盾．由直线图形，可知B、D中的a0，b0，则曲线为焦点在x轴上的双曲线，故选B．3．过抛物线y28x2的焦点F作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中垂线与x轴交于点P，则线段PF的长等于16816ABC3D83333p4解：抛物线的焦点为原点0，0，弦AB所在直线方程为y3x，弦的中点在y上，即AB中点k34434416为，，中垂线方程为y－x－，令y0，得点P的坐标为．33333316∴PF．选A．3524．若x∈－，－，则yta
x－ta
xcosx的最大值是12336612111112A2B2C3D3566525解：令xu，则xu，当x∈－，－时，u∈－，－，632123462y－cotuta
ucosu－cosu．在u∈－，－时，si
2u与cosu都单调递增，从而y单调递si
2u4611增．于是u－时，y取得最大值3，故选C．66495．已知x，y都在区间－2，2内，且xy－1，则函数u的最小值是4－x29－y28241212ABCD5117r