线上且RtΔGEF≌RtΔEBD∴∠EGF∠BED，∵∠EGF∠GEF90°，F∴∠BED∠GEF90°，∴∠BEG180—9090ba又∵ABBEEGGAc，EcG∴ABEG是一个边长为c的正方形P∴∠ABC∠CBE90∵RtΔABC≌RtΔEBDbb∴∠ABC∠EBDCcc∴∠EBD∠CBE90DHaab即∠CBD90a又∵∠BDE90，∠BCP90，cBABCBDa∴BDPC是一个边长为a的正方形同理，HPFG是一个边长为b的正方形设多边形GHCBE的面积为S，则11c2S2×aba2b2S2×ab22∴
a2b2c2
【证法6】项明达证明）（
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（ba），斜边长为c再做一个边长为c的正方形把它们拼成如图所示的多边形，E、、使AC三点在一条直线上E过点Q作QP∥BC，交AC于点Pba过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为NcAF∵∠BCA90，QP∥BC，P∴∠MPC90，b∵BM⊥PQ，Mcc∴∠BMP90，CN∴BCPM是一个矩形，即∠MBC90a∵∠QBM∠MBA∠QBA90，c∠ABC∠MBA∠MBC90，QB∴∠QBM∠ABC，又∵∠BMP90，∠BCA90，BQBAc，∴RtΔBMQ≌RtΔBCA
f同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）
【证法7】欧几里得证明）（
做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点LG∵AFAC，ABAD，H∠FAB∠GAD，Ka∴ΔFAB≌ΔGAD，C12Fbaba∵ΔFAB的面积等于2，MBAΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，2∴矩形ADLM的面积ac同理可证，矩形MLEB的面积b∵正方形ADEB的面积矩形ADLM的面积矩形MLEB的面积222222∴cab，即abc
2
D
L
c
E
【证法8】利用相似三角形性质证明）（
如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D在ΔADC和ΔACB中，C∵∠ADC∠ACB90，∠CAD∠BAC，ba∴ΔADC∽ΔACBAD∶ACAC∶AB，2c即ACADABADB
2同理可证，ΔCDB∽ΔACB，从而有BCBDAB222222∴ACBCADDBABAB，即abc
【证法9】杨作玫证明）（
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（ba），斜边长为c再做一个边长为c的正方形把它们拼成如图所示的多边形过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R过B作BP⊥AF，垂足为P过D作DE
f与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H∵∠BADr