Lc
x

11
约束条件a11x1a12x2LLa1
x
≤≥b1a21x1a22x2LLa2
x
≤≥b2LLLLLLL1213am1x1am2x2LLamx
≤≥bmx1x2LLx
≥0
f（2）目标规划建模：：
最好等于：mi

dd



最好不大于：mi
dmi
最好不小于：mi
dmi
mi
Z
KLk
∑Pk∑wkldlwkldlk1l1
绝对约束目标约束非负性约束
∑a
j1


ij
xj≤≥bi
xjdkdkEk
i12mk12K
∑c
j1


kj
xjdkdk≥0
j12

用优先等级因子目标的重要程度不同，用优先等级因子Pk来表示第k等级目标。优先等级因子Pk是正的常数是正的常数，PkPk1。同一优先等级下的目标的相对重要性，赋以不同的加权系数w同一优先等级下的目标的相对重要性
（3）整数规划模型Maxmi
ZΣcjxjstΣaijxj≤bii12…mxj≥0且部分或全部是整数
f3证明题
（1）证明可行域为凸集
为了证明满足线性规划问题的约束条件
∑Px
j1j


j
bxj≥0j12L

的所有点可行解组成的集合是凸集，只要证明D中任意两点连线上的点必然在D内即可。设1111T
XxxLx
Xx1x2Lx
212222

j1
j1j1j
T
是D内的任意两点；X1≠X2。
则有
∑Pxbx≥0j12L
∑Pxbx≥0j12L
j1j2j2j
令Xx1，x2，…，x
为xx连线上的任意一点，即12XαX1αX0≤α≤112X的每一个分量是xjαxj1αxj，将它代入约束条件，得到
T
1
2
∑


j1
Pjx
j

∑


j1

Pjαxj11αxj2



∑
j1
α
∑
j1
Pjxj1∑Pjxj2α
j1
Pjxj2
αbbαbb
又因xjxj≥0α01α0，所以xj≥0，j12…
。由此可见X∈D，D是凸集。证毕。
12
（2）证明无界解的判定
构造一个新的解X1，它的分量为x1bλa
ii
xm1
imk
λ

0

j≠mk
x1j
k
0
λ
jm1L
并且
因σmk＞0，所以对任意的λ＞0都是可行解，把x1代入目标函数内得
fzz0λσmk；因σmk＞0，故当λ→∞，则z→∞，故该问题目标函数无界。
（3）证明弱对偶性
设原问题是maxzCXAX≤bX≥0以满足约束条件即AX≤b若Y是对偶问题的可行解，YAX≤Yb原问题的对偶问题是将X右乘上式于是得到mi
ωYbYA≥CY≥0所以满足证毕YA≥C因Y是对偶问题的可行解，CX≤YAX≤Yb将Y左乘上式，得到
因X是原问题的可行解，所r