浅谈逆向思维在数学中的应用
曾有某心理学家分别对某大学的文学系和理学系的学生进行这样的测试：问题：往水池中注水，每小时水增加1倍，10小时可把水池注满；问水池里的水至何时可达一半？结果出现以下三种类型的解答：（1）设第1小时水池里有水量为2a，则10小时水池里有水量为2a，因而半池水的水
10
210at9量为29a设水池里的水t时可达一半，由题设可知2a2a。t9∴到故2
第9小时时水池里的水可达一半。（2）设1小时水池里有水量为1个单位，由题意则110小时水池内分别有水为1，4，2，8，16，32，64，128，256，512个单位，即水池可存水512个单位，那么半池水为256个单位；即第9小时水池里的水应有一半。（3）按题意，前一小时水池里的水量是后一小时水池里水量的一半。∵10小时水池里水满，∴第9小时水池里的水应有一半。第一种方法太复杂，第二种方法太呆板。结果表明理学系的学生用“顺向思维”的第一种复杂的方法者居多；而文学系的学生都用“逆向思维”的第三种方法者居多。这是因为理学系的学生利用已有的数学知识进行演算是他们遇到这类问题处理的一种习惯性思维方；，而文学系的学生正是由于缺乏这方面的数学知识而无法进行演算，因而选用了第三种只需很少的数学知识的方法。这表明，顺向思维的习惯有时妨碍了更有效的解决问题。因此，在平时学习数学的过程中，应加强逆向思维的训练和积累。一、逆向设问。由于学生长期习惯于“已知求证”式的题型训练，已形成了习惯性的正向思维定势；因此在平时的练习中可有意地逆向设问，从而可破除这种正向思维定势的负面影响。例1、已知不等式si
xbsi
xc0的解集为
2
π
6
x
π
3
求bc的值。
分析：这是一道不等式的还原题，由不等式的解求出原不等式。解：∵∴
π
6
x
π
3
132si
x，可知关于si
x的方程si
xbsi
xc0有两根22
13si
x1　，　x2si
；22
由韦达定理得b
1313222
133c×224
二、逆向思考。逆向思考就是把问题发生的顺序倒过来进行分析思考，往往可获得解决途径。例2、过点S引三条不共面的直线SA，SB，SC．如图；
∠BSC90，∠ASC∠ASB60．若截取SASBSCa
f求证：平面ABC⊥平面BSC分析：由题意易知ABAC，取BC的中点H，则AH⊥BC．要证平面ABC⊥平面BSC只需证AH⊥平面BSC，而要证明AH⊥平面BSC则只需证明AH⊥SH即可．证明：∵SASBSCa又∵∠ASC∠ASB60∴△ASBr