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g
a
,即
ma

03

a

2

2

a24a2a22
(ii)当0x2时,Fxfxmaxf0f22F2,当2x6时,
F

x

g

x


max
g
2

g
6

max
234

8a

max
F
2
F
6
.所以,M
a


348a32a4

a

4

【点评】本题考查新定义的理解和运用,考查分类讨论的思想方法,以及二次函数的最值的求法,不等式的性质,
考查化简整理的运算能力,属于中档题.
(19)【2016
年浙江,理
19,15
分】如图,设椭圆C

x2a2

y2
1a
1.
(1)求直线ykx1被椭圆截得到的弦长(用a,k表示);
(2)若任意以点A01为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点,求椭圆的离心率的取
值范围.
ykx1
解:(1)设直线
y

kx

1
被椭圆截得的线段为
AP
,由

x2
a2

y2
得1
1a2k2
x22a2kx0,故x10,
x2
2a2k
1a2k2
.因此
AP

1k2
x1x2
2a2k
1a2k2

1k2.
(2)假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,Q,满足APAQ.
记直线
AP,AQ的斜率分别为k1,k2,且k1,k2
0,k1
k2.由(1)知,
AP

2a2k11k121a2k12

fAQ2a2k21k22,故2a2k11k12
1a2k22
1a2k12
2a2k21k221a2k22
,所以
k12k22
1k12k22a2
2a2
k12k220.
由于k1k2,k1,k20得1k12k22a2
2a2
k12k22

0
,因此

1k12
1

1k22
1

1
a2
a22

因为①式关于k1,k2的方程有解的充要条件是:1a2a221,所以a2.
因此,任意以点A01为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a2,
由eca21得,所求离心率的取值范围为0e2.
aa
2
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用,椭圆与圆的位置关系的综合应用,考查分析问题解决问题
的能力,考查转化思想以及计算能力.
(20)【2016
年浙江,理
20,15
分】设数列满足
a


a
12
1
N.
(1)求证:a
2
1a12
N;
(2)若
a



32





N
,证明:
a

2,
N.
解:(1)由
a


a
12
1得a

12
a
1
1,故
a
2


a
12
1
12



所以
a121

a
2



a121

a222



a222

a323



a
12
1

a
2



121

122

12
1
1,
因此a
2
1a12.
(2)任取

,由(1)知,对于任意
m




a
2


am2m


a
2


a
12
1

a
12
1

a
22
2



am12m1

am2m


12


12
1





12m1

12
1
,故
a



12
1

am2m


2




12
1
12m


32
m



2


2


34
m

2


从而对于任意m
,均有
a


2


34
m

2

.由
m
的任意性得
a

2
①否则r
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