g
a
，即
ma

03

a

2

2
．
a24a2a22
（ii）当0x2时，Fxfxmaxf0f22F2，当2x6时，
F

x

g

x


max
g
2

g
6

max
234

8a

max
F
2
F
6
．所以，M
a


348a32a4

a

4
．
【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查分类讨论的思想方法，以及二次函数的最值的求法，不等式的性质，
考查化简整理的运算能力，属于中档题．
（19）【2016
年浙江，理
19，15
分】如图，设椭圆C

x2a2

y2
1a
1．
（1）求直线ykx1被椭圆截得到的弦长（用a，k表示）；
（2）若任意以点A01为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取
值范围．
ykx1
解：（1）设直线
y

kx

1
被椭圆截得的线段为
AP
，由

x2
a2

y2
得1
1a2k2
x22a2kx0，故x10，
x2
2a2k
1a2k2
．因此
AP

1k2
x1x2
2a2k
1a2k2

1k2．
（2）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足APAQ．
记直线
AP，AQ的斜率分别为k1，k2，且k1，k2
0，k1
k2．由（1）知，
AP

2a2k11k121a2k12
，
fAQ2a2k21k22，故2a2k11k12
1a2k22
1a2k12
2a2k21k221a2k22
，所以
k12k22
1k12k22a2
2a2
k12k220．
由于k1k2，k1，k20得1k12k22a2
2a2
k12k22

0
，因此

1k12
1

1k22
1

1
a2
a22
①
因为①式关于k1，k2的方程有解的充要条件是：1a2a221，所以a2．
因此，任意以点A01为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a2，
由eca21得，所求离心率的取值范围为0e2．
aa
2
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆与圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题
的能力，考查转化思想以及计算能力．
（20）【2016
年浙江，理
20，15
分】设数列满足
a


a
12
1
N．
（1）求证：a
2
1a12
N；
（2）若
a



32


，


N
，证明：
a

2，
N．
解：（1）由
a


a
12
1得a

12
a
1
1，故
a
2


a
12
1
12

，
，
所以
a121

a
2



a121

a222



a222

a323



a
12
1

a
2



121

122

12
1
1，
因此a
2
1a12．
（2）任取

，由（1）知，对于任意
m



，
a
2


am2m


a
2


a
12
1

a
12
1

a
22
2



am12m1

am2m


12


12
1





12m1

12
1
，故
a



12
1

am2m


2




12
1
12m


32
m



2


2


34
m

2

．
从而对于任意m
，均有
a


2


34
m

2

．由
m
的任意性得
a

2
①否则r