g
a
,即
ma
03
a
2
2
.
a24a2a22
(ii)当0x2时,Fxfxmaxf0f22F2,当2x6时,
F
x
g
x
max
g
2
g
6
max
234
8a
max
F
2
F
6
.所以,M
a
348a32a4
a
4
.
【点评】本题考查新定义的理解和运用,考查分类讨论的思想方法,以及二次函数的最值的求法,不等式的性质,
考查化简整理的运算能力,属于中档题.
(19)【2016
年浙江,理
19,15
分】如图,设椭圆C
x2a2
y2
1a
1.
(1)求直线ykx1被椭圆截得到的弦长(用a,k表示);
(2)若任意以点A01为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点,求椭圆的离心率的取
值范围.
ykx1
解:(1)设直线
y
kx
1
被椭圆截得的线段为
AP
,由
x2
a2
y2
得1
1a2k2
x22a2kx0,故x10,
x2
2a2k
1a2k2
.因此
AP
1k2
x1x2
2a2k
1a2k2
1k2.
(2)假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,Q,满足APAQ.
记直线
AP,AQ的斜率分别为k1,k2,且k1,k2
0,k1
k2.由(1)知,
AP
2a2k11k121a2k12
,
fAQ2a2k21k22,故2a2k11k12
1a2k22
1a2k12
2a2k21k221a2k22
,所以
k12k22
1k12k22a2
2a2
k12k220.
由于k1k2,k1,k20得1k12k22a2
2a2
k12k22
0
,因此
1k12
1
1k22
1
1
a2
a22
①
因为①式关于k1,k2的方程有解的充要条件是:1a2a221,所以a2.
因此,任意以点A01为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a2,
由eca21得,所求离心率的取值范围为0e2.
aa
2
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用,椭圆与圆的位置关系的综合应用,考查分析问题解决问题
的能力,考查转化思想以及计算能力.
(20)【2016
年浙江,理
20,15
分】设数列满足
a
a
12
1
N.
(1)求证:a
2
1a12
N;
(2)若
a
32
,
N
,证明:
a
2,
N.
解:(1)由
a
a
12
1得a
12
a
1
1,故
a
2
a
12
1
12
,
,
所以
a121
a
2
a121
a222
a222
a323
a
12
1
a
2
121
122
12
1
1,
因此a
2
1a12.
(2)任取
,由(1)知,对于任意
m
,
a
2
am2m
a
2
a
12
1
a
12
1
a
22
2
am12m1
am2m
12
12
1
12m1
12
1
,故
a
12
1
am2m
2
12
1
12m
32
m
2
2
34
m
2
.
从而对于任意m
,均有
a
2
34
m
2
.由
m
的任意性得
a
2
①否则r