2xC31211令y′′px则y′′′y′′x可化为p′pxxx解应填根据一阶线性微分方程的求解公式得px2Cx因此通解为yx4C1x3C2xC312
10设函数fxy
1xyta
xy≠0则limlimfxylimlimfxy____x→0y→∞y→∞x→0xy1xy
解应填1因为limlimfxy0limlimfxy1所以limlimfxylimlimfxy1
x→0y→∞y→∞x→0x→0y→∞y→∞x→0
ππ二10分已知f′si
xcosxta
xx，x且f01求fx22
ππtx解令tsi
xx，则f′t1t2arcsi
t，fx∫1x2即arcsi
xdx2221t1x21x而∫1x2dx（x1x2arcsi
x）C1∫arcsi
xdxxarcsi
xC221x211所以fx（x1x2arcsi
x）xarcsi
xC又f01故fx（x1x2arcsi
x）xarcsi
x122
三10分设fx在∞∞上有定义且对于任意的实数ab都有等式fabeafbebfa成立又f′01求fx
解由f00f0f0得
x
f00
fxxfxefxexfxfxlimx→0x→0xxxx0efxf0fxeelimexfxx→0x解此微分方程可得fxexCx又f00所以f′xlim
fxxex
四10分求抛物面zx2y21上任意一点P0x0y0处的切平面与抛物面zx2y2所围成立体的体积
解
抛物面zx2y21在点P0x0y0处的切平面为
z2x0x2y0yx0y01
22
zx2y2求得投影区域D：xx02yy02≤122z2x0x2y0yx0y01所围成的立体的体积V∫∫2x0x2y0yx0y01x2y2dxdy
22D
π∫∫1xx02yy022D
2
f五10分证明∫∫1x2y2dS≤
Σ
2πx2y2t827其中Σ为抛物面z夹在平面z0和zt01522
之间的部分
证
It∫∫1x2y2dS
Σ
∫∫
x2y2≤t
1x2y21x2y2dxdy2π∫0r1r21r2drt∈0∞
t
令I′tπ1t1t0
1
解得唯一驻点t1则It的最大值为I1而2827π2827π所以It≤1515
I12π∫0r1r21r2dr
六10分分针和时针在零点重合两针针尖间的距离逐渐后由小变大再由大变小经过后再次重合设时针和分针分别长a与2a问两针尖相离的速度何时达到最大
解由题意知时针的角速度为ω1时针分针分别转动了角度为α
12小时11
π6小时，分针的角速度为ω22π小r