第十七届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题解答
（2006年10月14日下午2：305：00）
注意：本考卷共九题。甲组九题全做，注意：本考卷共九题。甲组九题全做，乙组只做前七题
一、填空题（每题2分，共20分）填空题（1设严格单调函数yfx有二阶连续导数其反函数为xy且f11f′12f′′13则′′1___
解由应填38y′′1y′′3知′′123y′y′y′8
→
′′y
2设单位向量α与β的夹角为θ0θπab为正常数则lim
解应填
→
→
1
θ→0
θ
2
aαbβaαbβ_______
→
→
→
→
ab2ab
→
由aαbβlim1
→
aαbβaαbβ
→→→
→
→
→
→
a2b22abcosθ得a2b22abcosθ
θ→0
θ
2
aαbβaαbβlim
ab
θ→0
θ2
lim
absi
θ2θab2abcosθ
22
θ→0

ab2ab
3设fx
1则f1000_______12x4x2
应填2100100∞∞1112x因为当x时fx∑2x3
∑2x3
1所以f23212x4x12x
0
0解
100
02100100
4∫0
2006π
xsi
xdx_______
解
2应填（2006）π02006π
It2006πx∫2006π2006πtsi
td2006πt∫0故
2I2006）π（
tsi
tdt2006π∫0
2006π
2si
tdtI2×2006）π（
5已知有整数
4使极限limx
7x42αx存在且不为零则α__
x→∞
15因为limx
7x42αxlimx
α17x4
2x
αx所以由极限存在可得
α1解应填
x→∞x→∞
由极限不为零得4
1因此α
1
→∞
15
∞
1
6设a
0p1且lim
pe
1a
1若∑a
收敛则p的取值范围为_____
解应填2∞
1
因为e
1
1
→∞所以lim
pe
1a
lim
p1a
1
→∞
→∞

1
由正项级数的比较判别法知若
222
∑a
收敛则p11即p的取值范围应为2∞
1
∞
7圆柱面xya夹在平面zy与xOy面之间的侧面积A_____
解应填4a2由曲线积分的几何意义及对称性知A2∫y
a2x2
yds2∫0a2si
tdt4a2
π
1
f8当u0时fu有一阶连续导数且f10又二元函数zfexey满足
zz1则fu____xy
解
应填l
uzzexf′ueyf′uuf′u1解出ful
uCxy
记uexey则
由于u0且f10所以ful
u
9y′′′1y′′x的通解为y_____________x
x4C1x3Cr