又∵∠CFD∠AFG，∴∠CFD∠AEF。
∵AGAE2AE，ACAB2AB
si
45
si
45
∴GCAC－AG2AB－2AE2（AB－AE）
2BE。
f∴HD：GC：EB1：2：1。（2）连接AG、AC，由△ADC和△AHG都是等腰直角三角形，易证得△DAH∽△CAG与△DAH≌△BAE，利用相似三角形的对应边成比例与正方形的性质，即可求得HD：GC：EB的值。（3）连接AG、AC，∵矩形AEGH的顶点E、H在矩形ABCD的边上，DA：ABHA：AEm：
，∴∠ADC∠AHG90°，∴△ADC∽△AHG。
∴AD：ACAH：AGmm2
2，∠DAC∠HAG。∴∠DAH∠CAG。∴△DAH∽△CAG。
∴HD：GCAD：ACmm2
2。∵∠DAB∠HAE90°，∴∠DAH∠BAE。∵DA：ABHA：AEm：
，∴△ADH∽△ABE。∴DH：BEAD：ABm：
。
∴HD：GC：EBmm2
2
。
【例5】解：（1）180°－2α。（2）EBEF。证明如下：连接BD交EF于点O，连接BF。∵AD∥BC，∴∠A180°∠ABC180°－2α，
∠ADC180°－∠C180°α。∵ABAD，∴∠ADB1（180°－∠A）α。2∴∠BDC∠ADC－∠ADB180°－2α。由（1）得：∠BEF180°－2α∠BDC。又∵∠EOB∠DOF，∴△EOB∽△DOF。∴OEOB，即OEOD。ODOFOBOF∵∠EOD∠BOF，∴△EOD∽△BOF。∴∠EFB∠EDOα。∴∠EBF180°－∠BEF－∠EFBα∠EFB。
∴EBEF。
（3）延长AB至G，使AGAE，连接BE，GE，
则∠G∠AEG180A1801802。
2
2
∵AD∥BC，
∴∠EDF∠Cα，∠GBC∠A，∠DEB∠EBC。
∴∠EDF∠G。
∵∠BEF∠A，∴∠BEF∠GBC。
∴∠GBC∠EBC∠DEB∠BEF，即∠EBG∠FED。∴△DEF∽△GBE。∴EBBG。
EFDE∵ABmDE，AD
DE，∴AGAE（
1）DE。
∴BGAG－AB（
1）DE－mDE（
1－m）DE。
∴EB（
1m）DE
1m。
EF
DE
【考点】梯形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质。
【分析】（1）由梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC2∠BCD2α，根据平行线的性质，易求得∠A
的度数，又由∠BEF∠A，即可求得∠BEF的度数：
∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴∠A∠ABC180°。∴∠A180°－
∠ABC180°－2α。
又∵∠BEF∠A，∴∠BEF∠A180°－2α。
（2）连接BD交EF于点O，连接BF，由ABAD，易证得△EOB∽△DOF，根据相似三角形的对应边成比例，可得OEOB，从而可证得△EOD∽△BOF，又由相似三角形
ODOF的对应角相等，易得∠EBF∠EFBα，即可得EBEF。（3）延长AB至G，使AGAE，连接BE，GE，易证得△DEF∽△GBE，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得EB的值。解析：延长DFBA交于G，可证△CEM≌△CFM△CDF≌△BGF
EF通过线段的简单运算，即可求得。
f【例6】【解析】（1）根据折叠前后的相等线段，先在Rt△r