OEC中求出OE长，再在Rt△ADE
当∠QPC＝∠DAE＝90°时，△ADE∽△PQC，
中运用勾股定理构建方程求AD．然后将O，D，C三点的坐标代入抛物线yax2bxc求出a，b，c即可．（2）分别用含ｔ的代数式表示CQ和CP的长，再利用相似三角形产生的相似比构建含t
∴＝，即
＝，解得t＝．
的方程，解之即得．（3）从两定点C，E形成的边CE为平行四边形的边和对角线两个角度分析求解．
∴当t＝或时，以P，Q，C为顶点的三角形与△ADE相似．
【答案】解：（1）∵四边形ABCO为矩形，∴∠OAB＝∠AOC＝∠B＝90°，AB＝CO＝8，AO＝BC＝10．由题意得，△BDC≌△EDC．∴∠B＝∠DEC＝90°，EC＝BC＝10，ED＝BD．由勾股定理易得EO＝6．∴AE＝10－6＝4．设AD＝x，则BD＝DE＝8－x，由勾股定理，得x2＋42＝8－x2．解之得，x＝3，∴AD＝3．∵抛物线y＝ax2＋bx＋c过点O（0，0），∴c＝0．∵抛物线y＝ax2＋bx＋c过点D3，10，C8，0，
（3）存在．M1（－4，－32），N1（4，－38）．M2（12，－32），N2（4，－26）．
M3（4，），N3（4，－）．
5、解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴△AOB为直角三角形，且OA1AC1，OB1BD3。
2
2
在Rt△AOB中，由勾股定理得：ABOA2OB212322。
（2）①△AEF是等边三角形。理由如下：
∵由（1）知，菱形边长为2，AC2，∴△ABC与△ACD均为等边三角形。
∴∠BAC∠BAE∠CAE60°。
又∠EAF∠CAF∠CAE60°，∴∠BAE∠CAF。
在△ABE与△ACF中，∵∠BAE∠CAF，ABAC2，∠EBA∠FCA60°，
∴
解之得
∴抛物线的解析式为：y＝－x2＋x．（2）∵∠DEA＋∠OEC＝90°，∠OCE＋∠OEC＝90°，∴∠DEA＝∠OCE．由（1）可得AD＝3，AE＝4，DE＝5．而CQ＝t，EP＝2t，PC＝10－2t．当∠PQC＝∠DAE＝90°时，△ADE∽△QPC，
∴△ABE≌△ACF（ASA）。∴AEAF。∴△AEF是等腰三角形。
又∵∠EAF60°，∴△AEF是等边三角形。
②BC2，E为四等分点，且BE＞CE，∴CE1，BE3。
2
2
由①知△ABE≌△ACF，∴CFBE3。2
∵∠EAC∠AEG∠EGA∠GFC∠FCG∠CGF180°（三角形内角和定理），
∠AEG∠FCG60°（等边三角形内角），∠EGA∠CGF（对顶角），
∴∠EAC∠GFC。
在△CAE与△CFG中，∵∠EAC∠GFC，∠ACE∠FCG60°，
∴＝，即＝
，解得t＝．
f3
∴△CAE∽△CFG。∴CGCF，即CG2。解得：CG3。
CECA
12
8
2
【考点】旋转的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边
三角形的判定和性质，勾股定理。
【分析】（1）根据菱形的性质，确定△AOB为直角三角形，然后利用勾股定理求出边AB的长度。
（2）①确定一对全r