必有意义；另一方面，即使矩阵AB、BA都有意义时，
它们的级数也未必相等因为乘积的行数等于第一个因子的行数，列数等于第二个因子的列数由此我们给出可交换矩阵这一特殊矩阵的定义定义211对于两个
阶方阵AB，若ABBA则称方阵A与B是可交换的。
3矩阵可交换的条件
31矩阵可交换的充分条件定理311（1）设A、B至少有一个为零矩阵，则A、B可交换；（2）设A、B至少有一个为单位矩阵，则A、B可交换；（3）设A、B至少有一个为数量矩阵，则A、B可交换；（4）设A、B均为对角矩阵，则A、B可交换；（5）设A、B均为准对角矩阵，则A、B可交换；（6）设A是A的伴随矩阵，则A与A可交换；（7）设A是可逆矩阵，则A与A1可交换（8）设ABE，则A、B可交换证明：（1）对任意矩阵A，均有：A00A，0表示零矩阵；（2）对任意矩阵A，均有：AEEA，E表示单位矩阵；（3）对任意矩阵A，均有：AkEkEA，k为任意实数；
1
f（4、5）显然成立；（6）AAAAAE；（7）AA1A1AE；（8）当ABE时，A、B均可逆，且为互逆矩阵定理3121设ABAB其中为非零实数则AB可交换2设AmABE其中m为正整数为非零实数则AB可交换证明1由ABAB可得
AEBEE
即
1

故依定理3118得
1
AEBEE

于是
BEAEE
BAABEE
所以
BAABAB
2由AmABE得
AAm1BE
故依定理3118得


A
m1
BE
于是
AmBAE
所以可得ABBA定理3131设A可逆若ABO或AAB或ABA则AB可交换2设AB均可逆若对任意实数k均有AAkEB则AB可交
2
f换2证明1若ABO由A可逆得BA1ABA1ABO从而BAO故


ABBA
若AAB同理可得若ABA则
BA1ABA1ABE故ABBABBAA1BAA1E故ABBA
2因AB均可逆故由AAkEB得AkE可逆且BAkE1A则




1ABAkEBAkEABAkEAAkE1BAAkAAkEBAAkEAkEBAr