（1101）T
5分
2将方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）联立得方程组，判断是否有解，对系数矩B阵进行初等变换化为阶梯形：
11001100
B


010
111
011
1
01



000
100
010
120

，
RB34方程组有非零解，即方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）有非零公共解。
10分
x2y3z40
七、（10
分）已知直线
l
的一般方程为：

x

2
y

3z

8

0
（1）将直线l的一般方程化为标准方程（点向式方程）；（2）直线l在yoz面上的投影直线l绕z轴旋转一周所得旋转曲面的方程。
解：（1）在直线l上求一点M2，30直线l的方向向量：
ijks
1
212306420324分
123
直线l的标准方程为：x2y3z
5分
0
32
（2）由直线l的一般方程消去x得yoz面上投影直线l的方程：
2y3z60
7分
直线l绕z轴旋转一周所得旋转曲面的方程为：
（2x2y2）3z60
即9z224x2y2
10分
f八、
10分
设
A


20
32

，求一个正交变换将二次型
f
x1
x2

xT
AT
Ax
化为标准形
解：二次型的矩阵为：
B

AT
A


46
163，
2分
解特征方程BE1160，
得B的特征值为11，216
4分
当1

1时，解方程组B

Ex

0
，得基础解系1

21
，单位化，得
p1


2
51
5

6分
1
当2
16时，解方程组B16Ex

0，得基础解系2

12，将其单位化得
p2



525
，
8分
2
取P
51
5
1
52
则P为正交矩阵
5
于是正交变换XPY将二次型化为标准型：fy1216y2210分
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