y＝x＋b代入抛物线方程，x2＋2b－2px＋b2＝0，x1＋x2＝2p得则
－2b，y1＋y2＝x1＋x2＋2b＝2p，则MN的中点P的坐标为p－b，p．因为点P在直线x＋
y＝1上，所以2p－b＝1，即b＝2p－1又Δ＝2b－2p2－4b2＝4p2－8bp＞0，将b＝2p－1
222代入得4p－8p2p－1＞0，即3p－2p＜0，解得0＜p＜3
定点定值问题
典题导入
例3
2012辽宁高考如图，椭圆C0：2＋2＝
222
x2a
y2b
1ab0，a，b为常数，动圆C1：x＋y＝t1，bt1a点A1，
A2分别为C0的左，右顶点，C1与C0相交于A，B，C，D四点．
1求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；2设动圆C2：x＋y＝t2与C0相交于A′，B′，C′，D′四点，其中bt2a，t1≠t2
6
222
f若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，证明：t1＋t2为定值．自主解答1设Ax1，y1，Bx1，－y1，又知A1－a0，A2a0，则直线A1A的方程为y＝
2
2
y1
x1＋a
x＋a，①－y1x－a．②x1－a
直线A2B的方程为y＝
22
－y122由①②得y＝2x－a．③x1－a2
x2y211由点Ax1，y1在椭圆C0上，故2＋2＝1ab
从而y1＝b1－2，代入③得2－2＝1x－a，y0．
22

x21a
x2y2ab
2证明：设A′x2，y2，由矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，得4x1y1＝4x2y2，故x1y1＝x2y2因为点A，A′均在椭圆上，所以
2222
x1x2bx1－2＝b2x21－22aa
221
2
2
由t1≠t2，知x1≠x2，所以x1＋x2＝a，从而y1＋y2＝b，因此t1＋t2＝a＋b为定值．
2222
2
2
2
2
2
2
由题悟法1．求定值问题常见的方法有两种1从特殊入手，求出表达式，再证明这个值与变量无关；2直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．2．定点的探索与证明问题1探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋b，然后利用条件建立b、k等量关系进行消元，借助于直线系方程找出定点；2从特殊情况入手，先探求定点，再证明一般情况．以题试法3．2012山东省实验中学模拟已知抛物线y＝2pxp≠0及定点Aa，，－a0，bB
2
ab≠0，b2≠2pa，M是抛物线上的点．设直线AM，BM与抛物线的另一个交点分别为M1，M2，
当M变动时，直线M1M2恒过一个定点，此定点坐标为________．解析：设M
y0，y0，My1，y1，My2，y2，由点A，M，M共线可知y0－b＝y1－y0，12p22p12y2y1y22p00
2p－a－2p2p
2
2
2
7
f得y1＝
by0－2pa2pay2－y1，同理由点B，M，M2共线得y2＝设x，y是直线M1M2上的点，则2y0－by0y2y21－2p2p
＝
y2－yby0－2par