第二十讲
飞跃从全等到相似
全等三角形是相似三角形的相似比等于1的特殊情况，从全等到相似是认识上的一个巨大飞跃，不但认识形式上有质的变化．而且思维方式也产生突变，相等是全等三角形的主旋律，在相似形的问题中出现的线段间的关系比全等形中的等量关系复杂，不仅有比例式，还有等积式、平方式、线段乘积的和、差、线段比的和差等．通过寻找或构造相似三角形，用以计算或论证的方法，我们称为相似三角形法，在线段长度的计算、角相等的证明、比例线段的证明等方面有广泛的应用，是几何学中应用最广泛的方法之一．熟悉以下形如“A型”“X型”、“子母型”等相似三角形．
例题求解【例1】如图，△ABC中，∠ABC60’°，点P是△ABC内一点，使得∠APB∠BPC∠CPA，且PA8，PC6，则PB．
全国初中数学竞赛题
思路点拨PA、PB、PC分别是△ABP、△BCP的边，从判定这两个三角形的关系入手．注相似是几何中的一个概念，但相似性不仅表现在事物的几何形态上，而且还体现在事物的功能、结
构、原理上．类比推理也贯穿在物理学的全部发展过程中，著名物理学家麦克斯韦曾说：“借助类比，我试图以便利的形式提出研究电现象所必须的数学手段和公式．”在新事物面前，人们往往习惯于把它们与原有的、熟知的事物相比．这里蕴含的思想方法就是类比．【例2】a、b、c分别是△ABC的三边的长，且A．∠B2∠AB．∠B2∠AC．∠B2∠A
abababc
，则它的内角∠A、∠B的关系是

D．不确定
全国初中数学联赛试题思路点拨先化简已知等式，根据所得等式构造相应线段，通过全等或相似寻找角的关系．【例3】如图，在△ABC中，ABAC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于
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fE，交CF于F．求证：BPPE×PF吉林省中考题
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思路点拨由于BP、PE、PF在同一条直线上，所以必须通过作辅助线寻找等线段来转化问题．
【例4】如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连结FCABAE．1△AEF与△EFC是否相似，若相似，证明你的结论，若不相似，请说明理由；2设
ABBCk
，是否存在这样的k值，使△AEF与△BFC相似若存在，证明你的结论并求出k的值：
若不存在，说明理由．重庆市中考题
思路点拨
本例是一道存在性探索问题，对于2，假设存在，则Rt△AEF与Rt△BFC中有一对锐角相
等，怎样由边的比值得出角的关系不妨从特殊角入手，逆推求出k的值．
【例5】如图，△ABC和△AlBlC1均为正三角形，BC和B1C1的中点均为Dr