第二十讲
飞跃从全等到相似
全等三角形是相似三角形的相似比等于1的特殊情况,从全等到相似是认识上的一个巨大飞跃,不但认识形式上有质的变化.而且思维方式也产生突变,相等是全等三角形的主旋律,在相似形的问题中出现的线段间的关系比全等形中的等量关系复杂,不仅有比例式,还有等积式、平方式、线段乘积的和、差、线段比的和差等.通过寻找或构造相似三角形,用以计算或论证的方法,我们称为相似三角形法,在线段长度的计算、角相等的证明、比例线段的证明等方面有广泛的应用,是几何学中应用最广泛的方法之一.熟悉以下形如“A型”“X型”、“子母型”等相似三角形.
例题求解【例1】如图,△ABC中,∠ABC60’°,点P是△ABC内一点,使得∠APB∠BPC∠CPA,且PA8,PC6,则PB.
全国初中数学竞赛题
思路点拨PA、PB、PC分别是△ABP、△BCP的边,从判定这两个三角形的关系入手.注相似是几何中的一个概念,但相似性不仅表现在事物的几何形态上,而且还体现在事物的功能、结
构、原理上.类比推理也贯穿在物理学的全部发展过程中,著名物理学家麦克斯韦曾说:“借助类比,我试图以便利的形式提出研究电现象所必须的数学手段和公式.”在新事物面前,人们往往习惯于把它们与原有的、熟知的事物相比.这里蕴含的思想方法就是类比.【例2】a、b、c分别是△ABC的三边的长,且A.∠B2∠AB.∠B2∠AC.∠B2∠A
abababc
,则它的内角∠A、∠B的关系是
D.不确定
全国初中数学联赛试题思路点拨先化简已知等式,根据所得等式构造相应线段,通过全等或相似寻找角的关系.【例3】如图,在△ABC中,ABAC,AD是中线,P是AD上一点,过C作CF∥AB,延长BP交AC于
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fE,交CF于F.求证:BPPE×PF吉林省中考题
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思路点拨由于BP、PE、PF在同一条直线上,所以必须通过作辅助线寻找等线段来转化问题.
【例4】如图,在矩形ABCD中,E为AD的中点,EF⊥EC交AB于F,连结FCABAE.1△AEF与△EFC是否相似,若相似,证明你的结论,若不相似,请说明理由;2设
ABBCk
,是否存在这样的k值,使△AEF与△BFC相似若存在,证明你的结论并求出k的值:
若不存在,说明理由.重庆市中考题
思路点拨
本例是一道存在性探索问题,对于2,假设存在,则Rt△AEF与Rt△BFC中有一对锐角相
等,怎样由边的比值得出角的关系不妨从特殊角入手,逆推求出k的值.
【例5】如图,△ABC和△AlBlC1均为正三角形,BC和B1C1的中点均为Dr