巧用旋转解题
温州市实验中学周利明
传统几何中，有许多旋转的例子，尤其是正方形和等腰三角形中。因此旋转的方法是几何学习中必备的技巧，本文将介绍旋转方法的几种典型用法，与广大读者共同学习、交流。1．利用旋转求角度的大小
例1：在等腰直角△ABC中∠ACB90°ACBCP是△ABC内一点满足PA6、PB2、
PC1求∠BPC的度数
分析：本题借助常规方法的入手是比较困难的，虽然三条线段的C
长度是已知的，但是这三条线段不是三角形的三条边长，因此
要得到角度的大小是不太容易的，因此我们可以借助
P
旋转来分析问题，因为ACBC，这就给我们利用旋转A
P’B
创造了条件，因此可以考虑将APC绕点C逆时针旋转900，
得BPC连接PP，通过三角形的边与角的关系分别求得CPP和PPB，就可得到
BPC的大小。
解：由已知ACBC，将APC绕点C逆时针旋转900，得BPC连接PP；
由旋转可知：PCBACP，CPCP，APBP；
∴PCBPCBACB900，
∴PCP是等腰直角三角形，∴CPPCPP450且PP2，在PPB中，∵PB2PP22222662AP2BP2，
∴PPB是直角三角形，且PPB900，
∴BPCCPPPPB4509001350．
例2：如图所示正方形ABCD的边长为1，P、Q分别为边AB、AD上的点APQ的周长为2，
求PCQ的大小．
分析：本题在已知三角形的周长和正方形的边长的条件下求角度的大小是比较困难的，
因为正方形的边长BCDC所以可以考虑将PBC绕点C顺时针旋转90°，易证E、D、Q三
f点共线，通过证明ECQ和PCQ全等即可求得PCQ的大小．
解：∵BCDC，E
∴将PBC绕点C顺时针旋转90°得EDC；
D
∴EDCCBP900，ECDPCB，EDPB，
CECP；
Q
∴ECDDCQPCQPCBDCQPCQ900，
A
且EDCCDA1800，
∴E、D、Q三点共线，
∵APQ的周长为2，即AQAPPQ2，
又∵AQAPPBQDABAD2，
∴PQPBDQEDDQEQ，
CECP在ECQ和PCQ中：EQPQ，∴ECQPCQ；
CQCQ
∴PCQECQ450．
练习１：P为正方形内一点且PA1BP2PC3求∠APB的大小．A
P
CBP
D
2．利用旋转求线段的长度
B
C
例3：如图，P是等边△ABC内一点，PA2，PB23，PC4，求BC的长。
分析：本题BC虽然和CP、BP同处一个三角形，但是要求其长还缺角度，因此直接从
已知条件入手是比较困难的，但是我们只要适当运用旋转的
C
E
方法，就可以是问题简单化；因为本题的△ABC是等边三
角形，所以其三边是相等的，因此联想到将△ABC内部的
某个三角形进行旋转也是比较容易的；
B
PA
解：∵△ABC是等边三角形，
f∴将△BPA绕点B逆时针旋转60°，则BA与BC重合，
∴ABPEBC且BPBE，PAEC，r