1、行列式
1
行列式共有
2个元素，展开后有
项，可分解为2
行列式；2代数余子式的性质：
①、Aij和aij的大小无关；
②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；
③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A；
3代数余子式和余子式的关系：Mij1ijAij
Aij1ijMij
4设
行列式D：

1
将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D1，则D112D；

1
将D顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为D2，则D212D；
将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D3，则D3D；
将D主副角线翻转后，所得行列式为D4，则D4D；
5行列式的重要公式：
①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

1
②、副对角行列式：副对角元素的乘积12；
③、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积；

1
④、和：副对角元素的乘积12；
⑤、拉普拉斯展开式：A
OA
CAB、C
AO
A1m
AB
CBOB
BOBC
⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；
⑦、特征值；

6对于
阶行列式A，恒有：EA
1kSk
k，其中Sk为k阶主子式；k1
7证明A0的方法：
①、AA；
②、反证法；
③、构造齐次方程组Ax0，证明其有非零解；
④、利用秩，证明rA
；
⑤、证明0是其特征值；
f2、矩阵
1A是
阶可逆矩阵：A0（是非奇异矩阵）；
rA
（是满秩矩阵）
A的行（列）向量组线性无关；
齐次方程组Ax0有非零解；
bR
，Axb总有唯一解；
A与E等价；
A可表示成若干个初等矩阵的乘积；
A的特征值全不为0；
ATA是正定矩阵；
A的行（列）向量组是R
的一组基；
A是R
中某两组基的过渡矩阵；
2对于
阶矩阵A：AAAAAE无条件恒成立；
3A1A1
A1TAT1
ATAT
ABTBTAT
ABBA
AB1B1A1
4矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；
5关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：
A1

若A
A2






，则：
As
Ⅰ、AA1A2As；

A11
Ⅱ
、
A1


A21




；
As1
②、

AO
O
1

A1
B


O
OB1

；（主对角分块）
③、

OB
A1O
O
r