矩阵，则矩阵方程AXBC有解的充分必要条件是AACBBC。
f20102011学年《矩阵论》课程考试A卷
234

A468
678
。
一（20分）
（1）设
（i）求A的特征多项式和A的全部特征值；
（ii）求A的行列式因子，不变因子和初等因子；
（iii）写出A的Jorda
标准形；
176
1460
A
B
4516
313，试问A和B是否相似？并说明
（2）设
原因。
21

A12
31
，求A1，A2，A，AF；
二（20分）
（1）设
（2）设AC

i

i1
2
i


ii

i1


的特征值为
AF
12
，求证：
2
2
i
；
AF
2
的充要条件是A为正规矩阵。
10
A
WXAXXAXR22
12
三（20分）设

（1）证明：W是R
22

的线性子空间，并求W的基和维数；

（2）在W中定义变换TTXXX其中X为X的伴随矩阵，证明：T为线性变换；

（3）求T在（1）中所取基下的矩阵表示；
（4）求（2）中线性变换T的值域RT和核KerT，并确定它们的维数
四（20分）设AR
m

。
T
（1）证明：AA半正定；
（2）证明：
（3）证明：
IATA1，并且等号成立当且仅当A0；

m
k1
i1
ATAaik2
；
f（4）证明：存在唯一的对称半正定矩阵S使得AAS。
T
2
11
0

A01b1
11
1
，
五（20分）
（1）设
（i）求A的奇异值分解；

（ii）计算广义逆矩阵A；
（iii）用广义逆矩阵判定线性方程组Axb是否相容。若相容，求其通解；若不相容，求其极小最小二乘解
0203
A
1kAk

0605，判定矩阵级数k0
（2）设
是否收敛。若收敛，求其和。
20112012学年《矩阵论》课程考试A卷
3615

A125
125
。
一（20分）设
（1）求A的特征多项式和A的全部特征值；
（2）求A的行列式因子，不变因子，初等因子和最小多项式；
（3）写出A的Jorda
标准形J。
21

A12
03
，求A1A2AAF；
二（20分）
（1）设
（2）设
AaijCm

，证明：
（i）对m阶酉矩阵U和
阶酉矩阵V，有
UAV
F
AF
；
r

（ii）若ra
kAr，12r为A的全部正奇异值，则k1
1101
3

A0110b0
1211
4
，
三r