（20分）设
（1）计算A的满秩分解；

（2）计算广义逆矩阵A；
m
2
k


aij
i1j1
2
。
f（3）用广义逆矩阵判定线性方程组Axb是否相容。若相容，求其通解；若不相容，求其极小最小二乘解。
210

A133
032
，判断A是否是正定或半正定矩阵，并说明理由；
四（20分）
（1）设
（2）设A是
阶Hermite正定矩阵，B是
阶Hermite矩阵，证明：AB相似于实对角矩阵；
（3）设A，B均为
阶Hermite矩阵，并且ABBA，是AB的特征值，证明：存在A的特征值和B的特
征值，使得。
五（20分）设
（1）确定
（2）对
Rx3
Rx3
表示实数域R上次数小于3的多项式再添上零多项式构成的线性空间。
的维数，并写出
Rx3
的一组基；
fxa0a1xa2x2Rx3
，在
Rx3
Tfxa0a1a1a2xa2a0x2
上定义线性变换T如下：
，
求T在（1）中所取基下的矩阵表示；
（3）求（2）中线性变换T的值域RT和核KerT，并确定它们的维数；
（4）在
Rx3
中定义内积
1
fgfxgxdxfxgxRx3
1
求
Rx3
的一组标准正交基。
20122013学年《矩阵论》课程考试A卷
a
V11
a21
一、20分设

a12
R22a11a22
a22

是R
01
P
TXPXXP，其中
10
1求V的一组基和维数；
a
A11
a21
2对任意
a12
b
B11
a22
b21
ABa11b112a12b12a21b21，
b12
V
b22
，定义：
22
的一个线性子空间，对任意XV，定义：
f110
310
3a0



A430B031C03a
003
003
102
，

，
二、20分设三阶矩阵
1求A的行列式因子、不变因子、初等因子及Jorda
标准形；
2利用矩阵的知识，判断矩阵B和C是否相似，并说明理由
x41
x1x2
x1x2x32x41
x3x41
三、20分已知线性方程组
不相容
1求系数矩阵A的满秩分解；

2求广义逆矩阵A；
3求该线性方程组的极小最小二乘解
110

A110
1k
120
kx

四、20分已知幂级数k03
的收敛半径为3矩阵
1求
A1AA2AF

1
3
2证明矩阵幂级数k0

1
3
3求矩阵幂级数k0
k
k
；
Ak
收敛；
Ak
的和
Aar