1）求V的维数，并写出V的一组基；
11
01
XX
TX
0
0
0
1

XV
V
T
（2）在中定义线性变换：
求T在（1）中所取基下的矩阵表示；
（3）求（2）中线性变换T的值域RT和核NT，并确定它们的维数；
（4）在V中能否取一组基使得（2）中线性变换T在所取基下的矩阵为对角矩阵？如果能，则取一组基；如果不
能，则说明理由。
五（20分）设
Aaij
为
阶Hermite矩阵，证明：
存在唯一Hermite矩阵B使得AB；
3
（2）
如果A0，则
（3）如果A0，则
trA2trA2；
trAtrA1
。
f200920010学年《矩阵论》课程考试A卷
126

A103
114

一、
（20分）设
，
（1）求A的特征多项式和A的全部特征值；
（2）求A的不变因子、初等因子和最小多项式；
（3）写出A的Jorda
标准型J；
1
（4）求可逆矩阵P，使PAPJ。
12
A
2
二、
（20分）（1）设
（2）设
证明
AaijC

，令
0
2
1，求A1A2AAF；
A
maxaij
ij
，
是×上的矩阵范数并说明具有相容性；
（3）设AB均为
阶矩阵，并且ABBA，证明：如果A有
个互异的特征值，则B相似于对角矩阵。
三、
（20分）设
表示实数域R上次数小于3的多项式再添上零多项式构成的线性空间（按通常多项式的加法
和数与多项式的乘法）
。
（1）在
T1xx24x2
2
2
Txx3x2x
2
Tx2x2
中定义线性变换T：
求变换T在基1xx下的矩阵；
（2）求T的值域RT和核kerT的维数和基；
（3）求线性变换T的特征值及特征向量；
Rx3中定义内积fg
（4）在

4
1
fxgxdxfxgxRx
3求出Rx3的一组标准正交基。

四、
（20分）
401

A04t
1t4
，其中t为实参数，问t取何值时A正定；
（1）设
（2）设A是
阶Hermite矩阵，证明：A半正定的充分必要条件是A的特征值均为非负实数；
（3）已知
阶矩阵A0
，证明
AI1，并且等号成立的充分必要条件为A0。
五、
（20分）
111
1

A111b1
121
1
，
（1）
i做出A的满秩分解，并计算A

；
ii用广义逆矩阵判定线性方程组Axb是否相容，若相容，求其通解；若不相容，求其极小最小二乘解；

（2）设ABC分别为m
pqmqr