1)求V的维数,并写出V的一组基;
11
01
XX
TX
0
0
0
1
XV
V
T
(2)在中定义线性变换:
求T在(1)中所取基下的矩阵表示;
(3)求(2)中线性变换T的值域RT和核NT,并确定它们的维数;
(4)在V中能否取一组基使得(2)中线性变换T在所取基下的矩阵为对角矩阵?如果能,则取一组基;如果不
能,则说明理由。
五(20分)设
Aaij
为
阶Hermite矩阵,证明:
存在唯一Hermite矩阵B使得AB;
3
(2)
如果A0,则
(3)如果A0,则
trA2trA2;
trAtrA1
。
f200920010学年《矩阵论》课程考试A卷
126
A103
114
一、
(20分)设
,
(1)求A的特征多项式和A的全部特征值;
(2)求A的不变因子、初等因子和最小多项式;
(3)写出A的Jorda
标准型J;
1
(4)求可逆矩阵P,使PAPJ。
12
A
2
二、
(20分)(1)设
(2)设
证明
AaijC
,令
0
2
1,求A1A2AAF;
A
maxaij
ij
,
是×上的矩阵范数并说明具有相容性;
(3)设AB均为
阶矩阵,并且ABBA,证明:如果A有
个互异的特征值,则B相似于对角矩阵。
三、
(20分)设
表示实数域R上次数小于3的多项式再添上零多项式构成的线性空间(按通常多项式的加法
和数与多项式的乘法)
。
(1)在
T1xx24x2
2
2
Txx3x2x
2
Tx2x2
中定义线性变换T:
求变换T在基1xx下的矩阵;
(2)求T的值域RT和核kerT的维数和基;
(3)求线性变换T的特征值及特征向量;
Rx3中定义内积fg
(4)在
4
1
fxgxdxfxgxRx
3求出Rx3的一组标准正交基。
四、
(20分)
401
A04t
1t4
,其中t为实参数,问t取何值时A正定;
(1)设
(2)设A是
阶Hermite矩阵,证明:A半正定的充分必要条件是A的特征值均为非负实数;
(3)已知
阶矩阵A0
,证明
AI1,并且等号成立的充分必要条件为A0。
五、
(20分)
111
1
A111b1
121
1
,
(1)
i做出A的满秩分解,并计算A
;
ii用广义逆矩阵判定线性方程组Axb是否相容,若相容,求其通解;若不相容,求其极小最小二乘解;
(2)设ABC分别为m
pqmqr