x


2
fxdxfxdx


x
2
fxdx
x22x2
x2
0


12

si

x

1

1
x22x2
x2
2
f3P
0X4
41cosxdx
02
24
A4、（1）已知X的分布律为
X1
0
1
2
3
11111P
1263123
计算D12X2。（5分）
解：D12X24DX2
4EX4EX22

4

1154

22516


2354
（2）、设XN01，求YX2的概率密度（5分）

解：Y的密度函数为：
f
y



1
y
e2
2y
0
y0y0
exyx0y0
A5、设XY的概率密度为fxy

0其它
1试求分布函数Fxy；
2求概率PxyG其中区域G由X轴Y轴以及直线xy1所围成
解1Fxyx
y
f
xy
dxdy


x0
yexydxdy
0
x0y0


0
其他


ex
1
ey1
x0y0

0
其他
2PxyG
f
xy
dxdy
10
1x0
e
x
y
dydx

1
2e1
G
k1x
A6、设二维随机变量XY的概率密度为fxy
0
论随机变量XY的相互独立性。
0yx1k求常数及边缘概率密度并讨
其它

解：由归一性知：1
fxydxdy

k1xdxdy
0yx1
k
1
dx
x1xdy1k
0
0
6
k6
fX
x



f
x
ydy

6x
0
1

x

dy，
0，
0x1其他

6x1x，

0，
0
x1其他
3
ffYy

f
x
ydx

6


11x
y
0，
dx，
0
y其他
1

3

y12
0，
，
0
y其他
1
显然fxyfXxfYy，故X与Y不相互独立。
A7、设总体
X
的概率密度为
f
x



x10
0x1其它
其中

0为未知参数
若
X1X
是来自母
体的简单子样，试求的矩估计与极大似然估计
解：（1）令
XEX
1
x
x1dx

0
1
解得的矩估计为



X
2
1X
（2）似然函数

L


xi12xi1
i1
i1
对数似然函数
l
L
l
2

1l
xi
i1
令
l
L


2

1


12
2

i1
l

xi

0
解得的极大似然估计为




2
2
l

xi

i1

A三、证明题（每题5分，共10分）
A1、X1X2为来自总体X的样本，证明当ab1时，aX1bX2为总体均值EX的无偏估计。证明：设总体均值EXμ，由于X1X2为来自总体X的样本，
因此EX1EX2
而aX1bX2为总体均值EX的无偏估计，故应该有
EaX1bX2aEX1bEX2ab
从而ab1
A2、设XY是相互独立的随机变量，它们分别服从参数为12的泊松分布，证明
ZXY服从参数为12的泊松分布。
证明：由题知
XP1YP2，即P
Xme11mPY
e22

m


令ZXY，且由XY的相互独立性可得：
PZkPXYk
k
PXiYki

k
ie11e2
ki2
m0
i0
i
ki
4
fee12
k
k
i0i
kki
1i2ki

12k
k
e12k01r