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第十六章排列、组合、二项式定理
一、排列
P
m


1
2
m1


m
m个相乘
二、组合
（如：P53

543

5）53
C
m

P
mPmm


mm
（如：C53

P53P33

5533
543）321
C
m


C


m
，
C
m

C
m1
C
m1
三、二项式定理
（如：
C
35

C
25
，
C53
C52

C
36
）
1二项式定理：ab


C
0

a


0
b
0

C
1

a
1
b1


C


a0
b

（1）展开式共有

1
项，其中第
r1
项：Tr1

C
r

a
r
br
（2）其中
C
r

（012…）叫二项式系数
2二项式系数的性质1在二项展开式中与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。（对称性）2展开式中二项式系数最大的项：
若


是偶数，是中间一项即第

2


1项，二次项系数为C
2
；
若


是奇数，是中间两项即第


2
1
、


2
1
1
项，二次项系数为

1
C
2
、

1
C
2
；
【区别】展开式中系数最大的项：
Tr1的系数
Tr
的系数
1

Tr2的系数Tr的系数
求出
r
3二项式系数的和为
2


，即
C
0


C
1




C



2

【区别】所有系数的和：令字母为1
4偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即
C
0


C
2


C
1


C
3



2
1
3二项式定理的主要应用
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1赋值求职；2证明某些整除问题或求余数；
3证明关于指数式与多项式的不等式；4进行近似计算。例
奇数项二项式系数和
1x
1i

2
2
1（参见二项式系数性质（4））2
12x

奇数项系数和
1x

2
（因为它的二项式系数就是系数）
1i


22
（若
是偶



数）
解：1i
1i2222
C
0
C
2
C
4

C
2
C
1
C
3
C
5

1
C
2i

C
0C
2C
4C
2（所有奇数项系数）
（偶数项的系数和为0）
12x

3
1

2
解：设12x
a0a1xa2x2a3x3a
x

令x1得3
a0a1a2a3a
①
x1得1
a0a1a2a3a
②
（①②）÷2得a0

a2

a4a


3

1
2
（同理可得偶数项系数的和）
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