值时所得到的解，称为方程的特解。在实际问题中，这些函数往
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往还满足一些特定条件，这个称之为定解问题，如常微分方程的初值问题和边值问题，满足条件
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的解就是特解。在理想的状况下，我们解这个方程如果能够得出通解的解析表达式，那么代入
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数值很容易得到问题所要求的特解，但事实上，很多常微分方程得不到通解的解析表达式，或者
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表达式过于复杂。而且，常微分方程的特解是否存在，有几个解，牵涉到解的存在唯一性定理。
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在实际应用中，我们对解的精度要求往往并没有那么严格。在这种情况下，数值解应运而生，通
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俗的讲，数值解就是所求函数在特定点的函数值，通过函数在特定点的取值，我们可以反过来观
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察这个函数的某些性质，所以，求常微分方程的数值解是很有意义的，事实上，解常微分方程很
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大一部分就是解数值解。
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下面我们要讨论几种常见的常微分方程数值解法，目的是展示常微分方程数值解法的一般过
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程。以下章节，由于本人水平有限，只对数值解法的思路和过程进行讨论，而对于解的存在唯一
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性，方法精度的具体证明，不做过多讨论。一般而言，构造数值解法都是基于两个想法：一种是
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基于数值积分的构造方法，一种是基于泰勒展开的构造法。下面我们要讨论的是几种常见的数值
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解法，如欧拉法、改进的欧拉法、龙格库塔法、阿达姆斯预估校正法以及基于勒让德多项式的谱
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方法。这些方法既有基于数值积分的构造方法，如欧拉法，也有基于泰勒展开的构造法，如龙格
库塔法。下面的章节，我们会一一介绍这些方法的思路，并通过一些简单的算例，让大家了解这
些解法的一般过程。为了让大家看到各种数值解法的精确性和有效性，我们可能会尽量选取一些
通解存在的算例来求数值解，这样做并不意味着我们实际中求数值解时要先求出精确解，而只是
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f出于对方法对比的需要，望不致引起混淆。
毕业设计（论文）报告纸
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2欧拉法和改进的欧拉法
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21欧拉法
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211欧拉法介绍
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首先，我们考虑如下的一阶常微分方程初值问题
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yfxy
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y

x0


y0
（21）
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事实上，对于更复杂的常微分方程组或者高阶常微分方程，只需要将x看做向量，（21）就成
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了一个一阶常微分方程组，而高阶常微分方程也可以通过降阶化成一个一阶常微分方程组。
装
欧拉方法是解常微分方程初值问题最简单最古老的一种数值方法，其基本思路就是把（21r