cos
232a030
0
2
232
a03
r2era0dr

e
i
pr
cos

0
ipr
0

2

rera0
e
i
pr

e

i
pr
dr
232a03ip0
x
eaxdx

0
a
1
2
232

1
1



a
30
ip
1a0

i
p2
1a0

i
p2

1
4ip
2a033ip
a0

1a02

p22

2

4
a044
2a033a0a02p222
2a032a02p222
f动量几率分布函数
p

cp2

8a0352a0p224
6设t0时，粒子的状态为

x

Asi

2
kx
12
coskx
求此时粒子的平均动量和平均动能。
解：
x

Asi

2
kx
12
coskx

A
12
1
cos2kx

12
coskx
A1cos2kxcoskx2

A12
12
ei2kx
ei2kx
12
e
ikx
eikx

A
22
ei0x

12
ei2kx

12
ei2kx

12
eikx

12
eikx
12
可见，动量p
的可能值为02k
2k
k
k
动能
p
2

的可能值为0
2
2k22
2k22
k222
k222
对应的几率
应为
A2
A2
A2
4
16
16
A2
A22
16
16
1
1
1
1
1A2
2
8
8
8
8
上述的A为归一化常数，可由归一化条件，得
1




A2
4
4
A2216

A22
2
∴
A1
∴动量p的平均值为
pp


02kA222kA22kA22kA220
16
16
16
16
fTp2
2


p
22


02k2212k2212
8
28
5k22
87设氢原子处于状态
r


12
R21rY10
32
R21rY11

求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。
解：在此能量中，氢原子能量有确定值
E2


e
2s
22
2


e
2s
82
角动量平方有确定值为
L21222
角动量Z分量的可能值为
LZ10LZ2其相应的几率分别为

21
1，3
4
4
其平均值为
LZ

103
4
4

34
8试求算符Fieixd的本征函数。dx
解：F的本征方程为
FF
f即ieixdFdx
diFeixdxdFeixddFeixd

dx
dx
l
Feixdl
cdx
ceFeix（F是F的本征值）
9设波函数xsi
x，求dx2xd
dx
dx
解：原式dxdxxdxd
dxdx
dxdx
dxsi
xxcosxxdxcosx
dx
dx
si
xxxxcosxcosxxxxx
si
x2xcosx10证明：如果算符A和B都是厄米的，那么
AB也是厄米的
证：
1AB2d

1
A
2d

1B2d
2A1d2B1d
2AB1d
∴
AB也是厄米的。
11求
LxPxPxLx
LyPxPxLy
LzPxPxLz
解：LxPxPxLxyPzzPyPxPxyPzzPy
yPzPxzPyPxPxyPzPxzPy
yPzPxzPyPxyPzPxzPyPx0LyPxPxLyzPxxPzPxPxzPxxPz
fzPx2xPzPxPxzPzPxxPzzPx2xPzPxzPx2r