0xaxaxa
3求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。
解：x

12x2
2xe2
2
1x1x2

42
2
x2e2x2
23xe22x2
d1x232x22x3e2x2
dx

令d1x0，得dx
x0
x1
x
由1x的表达式可知，x0，x时，1x0。显然不是最大几率的位置。
f而d21x23262x222x2x22x3e2x2
dx2

43152x224x4e2x2
d21x
24310
dx2
x1
e
2
可见x1是所求几率最大的位置。
4一维谐振子处在基态x

2
x
2

i

t
e22，求：

1势能的平均值U12x2；2
2动能的平均值Tp2；2
3动量的几率分布函数。
解：1U12x212x2e2x2dx
2
2

122112112
2
2222
224

14
0
xe2
ax2
dx

1
3

52
2
1a


1
a
p21
2T
xp2xdx
22

1

12x2
e2
2
d2
12x2
e2dx
2
dx2
2212x2e2x2dx
2
22e2x2dx2x2e2x2dx
2


f222
2
23


222
2

224

24


14
或
TEU111
244
3
cp

p

x

xdx

1
2
e

12
2
x
2
e

i
Px
dx

12
eedx
12x22

i
Px


12

12xip2p2
2
2222
edx
12
p2

222

12xip2
2
2
eedx
12
p2
e222
2



1
p2
e222

动量几率分布函数为
pcp2
1
p2
e22

5氢原子处在基态r1era0，求：a03
1r的平均值；
2势能e2的平均值；r
3最可几半径；4动能的平均值；5动量的几率分布函数。
解：1r
rr2d12re2ra0r2si
drdd
a
30
0
0
0
f4r3a2ra0dr
a030
0
x
eaxdx


a
1

4a03
3

2a0
4

32
a0
2Ue2e221e2ra0r2si
drdd
r
a03000r
e22e2ra0rsi
drdd
a03000
4e2e2ra0rdr
a030
4e21e2
a03

2a0
2
a0
3电子出现在rdr球壳内出现的几率为
rdr

2

r2r2
si

drd
d

4e2ra0r2dr
00
a03
r4er2ra02a03
dr422rre2ra0
dr
a03
a0
令
drdr

0，
r1

0
r2
r3a0
当r10r2时，r0为几率最小位置
d2r428r4r2e2ra0
dr2
a03
a0
a02
d2r
8e20
dr2ra0
a03
∴ra0是最可几半径。
f4T

12
p2

2
2
22

1r2


r
r2
1rsi


si

1si
2


2

2
T
21era02era0r2si
drdd
2000a03
2


2
1era01
dr2dera0r2si
drdd
2000a03
r2drdr
421

2r
r2era0
dr
2a03a00
a0

422a04
2a024

a024
22a02
5
cp

p
r
r
d
c
p

1232
0
1
era0r2dr

e

i
prcos
si

d
2
d
a03
0
0

2
r2era0dr
e

i
pr
cos
dr