为实数
为厄密算符
为厄密算符
21已知轨道角动量的两个算符和共同的正交归一化本征函数完备集为
取
试证明
也是和共同本征函数对应本
征值分别为
。
证
f。
是的对应本征值为
的本征函数
是的对应本征值为
的本征函数
22
22证明：描写全同粒子体系的波函数的对称性不随时间改变
证明：设t时刻波函数是对称的，用S表示，
因为H是对称的，所以HS在t时刻也是对称的，
由
iSt
HS
知，S在t时刻也是对称的，故在下一时刻的态函数：t
S

St
dt
也是对称的
以此类推，波函数在以后任意时刻都是对称的。
同理可证，若某一时刻波函数反对称，则以后任一时刻的波函数都是反对称的。
三、计算题1由下列定态波函数计算几率流密度：
f11

1eikrr
22

1eikrr
从所得结果说明1表示向外传播的球面波，2表示向内即向原点传播的球
面波。
解：J1和J2只有r分量
在球坐标中


r0
r
e
1r

e
1rsi


1
J1

i2m

1
1
11

i12mr
eikr
r
1r
eikr
1r
eikr
r
1r
e
ikr
r0

i12mr
1r2
ik
1r
1r
1r2
ik
1r
r0

kmr2
r0

kmr3
r
J1与
r
同向。表示向外传播的球面波。
2
J2

i2m

2
2
2

i1eikr2mr
1eikr1eikr
rr
r
r
1r
eikr
r0

i12mr
1r2
ik
1r

1r
1r2
ik
1r
r0


kmr2
r0


kmr3
r
可见，J2与r反向。表示向内即向原点传播的球面波。
2一粒子在一维势场
，x0Ux0，0xa
，xa
中运动，求粒子的能级和对应的波函数。
解：Ux与t无关，是定态问题。其定态S方程
f
22m
d2dx2

x
Ux
x

E
x
在各区域的具体形式为
Ⅰ：x0

22m
d2dx2
1x

U
x1
x

E1x
①
Ⅱ：0xa

22m
d2dx2

2
x

E
2
x
②
Ⅲ：xa

22m
d2dx2

3
x

U
x
3
x

E
3
x
③
由于1、3方程中，由于Ux，要等式成立，必须
1x0
2x0即粒子不能运动到势阱以外的地方去。
方程2可变为
d
22xdx2

2mE2

2
x

0
令k2

2mE2
，得
d
22xdx2

k
2
2

x

0
其解为2xAsi
kxBcoskx
④
根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得
2010⑤
2a3a⑥
⑤B0⑥Asi
ka0A0
si
ka0ka
123
∴2x

Asi

a
x
f由归一化条件
x2dx1
得
A2
a
si
2


xdx
1
0
a
由
a
si
b
ma
xsi

a
xdx

a2
m

A2a
2x
2si
xaa
k2

2mE2

E


222ma2

2

123可见E是量子化的。
对应于E
的归一化的定态波函数为





x
t




2
si


i
xeE
t
aa
0r