pqphifqppfpqphifp
fqppqphifp2hifp
（4）pp2fqhp2fii
证明根据题给对易式外，另外应用对易式
pfqhfifidf
i
dq
pp2fp2fp2fpp2pffp
p2pfhp2fii
（5）ppfqphpfipi
（证明）论据同（4）：
ppfpp2fppfp2ppffpp
fhpfipi
（6）pfqp2hfip2i
（证明）论据同（4）：
pfp2pfp2fp2pffpp2hfip2i
14设算符A，B与它们的对易式A，B都对易。证明
甲法）递推法，对第一公式左方，先将原来两项设法分裂成四项，分解出一个因式，再次分裂成六项，依次类推，可得待证式右方，步骤如下：
按题目假设
重复运算
1次以后，得
15证明
是厄密算符
证明）本题的算符可以先行简化，然后判定其性质
是厄密算符，因此原来算符也是厄密的。另一方法是根据厄密算符的定义：
f用于积分最后一式：前式
说明题给的算符满足厄密算符定义。
16定义ABABBA（反对易式）证明：
ABCABCBCACABACB
aAbB

12
a
b

A
B

1abA2
B
其中a，b与A，B对易。
（证明）第一式等号右方ABCACBBCACBACABCBAACBCAB
ABCBCAABC
＝第一式等号左方
第二式等号右方1abbaABBA1abbaABBA
2
2
1abABabBAbaABbaBAabABabBAbaABbaBA2
abABbaBA因a，b与A，B对易，bAAb，aBBa
前式aAbBbBaAaAbB
17证明力学量A（不显含t）的平均值对时间的二次微商为：
2d2AAHHdt2
（H是哈密顿量）
f（解）根据力学量平均值的时间导数公式，若力学量A不显含t，有
dAdt

1i

A
H

（１）
将前式对时间求导，将等号右方看成为另一力学量
1i

A
H

的平均值，则有：
d2Adt2

1i

1i

A
H

H


12
AH
H
（２）
此式遍乘2即得待证式。18试证明：一维运动的束缚态都是不简并的。
证明：设1和2是对应于同一能级
E
的不同本征态，则
1
2


2
1
常数。在
特例下，令1
2


2
1
0，即

1


2
12

1
dx


2
dxC
1
2
由此得：1C2
所以1和2描述同一个态。
19证明泡利矩阵满足关系xyzi。
【证】
20试在一维情况下证明哈密顿算符是厄米算符。
证明：考虑一维情况
f为厄密算符
为厄密算符
r