。
证：
11
S
S
12S1z12S2z12S1z12S2z

12
S2z

1
2
S1z
12
S1z
12
S2z


1
2
S
2
z
12S2z

1
f12
S
S
12S1z12S2z12S1z12S2z

12
S2z

1
2
S1z
12
S1z
12
S2z


0
13SS
12
1
2
S1z
1
2
S2z


12S1z12S2z12S1z12S2z

12

1
2
S2
z

1
2
S1z

1
2
S1z


1
2
S2
z



1
2
S2
z

1
2
S1z


1
2
S1z

1
2
S2
z


12

1
2
S2z

1
2
S2z


0

0
同理可证其它的正交归一关系。
33
S
S

12

1
2
S1z


1
2

S
2
z


12S1z12S2z

12S1z12S2z12S1z12S2z

12

1
2
S1z
12S2z
12S1z
12S2z


12
1
2
S1z
1
2
S2
z
1
2
S2z
1
2
S1z


12
1
2
S2z
1
2
S1z
1
2
S1z
1
2
S1z


12
1
2
S2z
1
2
S1z
1
2
S2z
1
2
S1z

10011
2
2
12对于无限深势阱中运动的粒子（如图所示）证明
xa2
（x

2
x）

a
2
（1

6）
12
22
并证明当
时上述结果与经典结论一致。
解写出归一化波函数：

x
2si
xaa
（1）
先计算坐标平均值：
x
a2
xdx
a2si
2
xxdx1
（a1cos2
x）xdx
0
0a
a
a0
a
利用公式：
f
x
si

pxdx


x
cosp
px

si
pxp2
（2）
得
xsi
pxcospx
xcospxdx
p
p2
（3）
x1x2
a
xsi
2
x
a
2

cos2
x
a

a
a22

a2

a
2
0
计算均方根值用（xx）2x2x2，x以知，可计算x2
x2
a

2
x2dx

2x2si
2
xdx1ax（21cos2
x）dx
0
a
a
a0
a
利用公式x2cospxdx1x2si
px2xcospx1si
px
p
p2
p3
（5）
x2

1
1x2

a
x2
a
2

si

2
x


a
2

2xcos2
x
a
a32
2
a2

a0
a2
a2

32
22
（xx）2
x2

x
2

a23
a22
22
a22
a2a2122
22
（6）
在经典力学的一维无限深势阱问题中，因粒子局限在（0，a）范围中运动，各点的几率密
度看作相同，由于总几率是1，几率密度1。a
x
a
xdx
a1xdxa
0
0a
2
2
x
a1x2dxa2
0a
3
（xx）2
x2

x
2

a23
a2
2
22
a22
故当
时二者相一致。
13设qpihfq是q的可微函数，证明下述各式：一维算符
（1）qp2fq2hipf
f（证明）根据题给的对易式及qfq0
qp2fqp2fp2fqqp2fp2qf
qppfppqfqppfpqpihfqppqhipf2hipf（2）qpfqpihfqpf
（证明）同前一论题
qpfpqpfppfpqqpfppfqphi
qpfppfpqhipfqpfppqfphipf
qppqfphipfhifppf
（3）qfqp22ihfp
证明同前一题论据：
qfp2qfppfppqfqppfppq
fqppfr