共同本征函数对应本征值分别为
证
。
是的对应本征值为
的本征函数
是的对应本征值为
6证明在定态中，几率流与时间无关。
的本征函数
f证：对于定态，可令
r，t
r
f
t
re
i
Et
J
i
2m
i
re
i
Et
（
re
i
Et）
re
i
Et
（
re
i
Et）
2m
i
r
r
r
r
2m
可见J与t无关。
7在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：UxUx，证明粒子的定
态波函数具有确定的宇称。证：在一维势场中运动的粒子的定态S方程为
2
d2xUxxEx
①
2dx2
将式中的x以x代换，得
2
d2xUxxEx
②
2dx2
利用UxUx，得
2
d2xUxxEx
③
2dx2
比较①、③式可知，x和x都是描写在同一势场作用下的粒子状态
的波函数。由于它们描写的是同一个状态，因此x和x之间只能相差一个
常数c。方程①、③可相互进行空间反演xx而得其对方，由①经xx
反演，可得③，
xcx
④
由③再经xx反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。
xcx
⑤
f④乘⑤，得
xxc2xx
可见，c21c1
当c1时，xx，x具有偶宇称，
当c1时，xx，x具有奇宇称，
当势场满足UxUx时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。8证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是
JerJe0
Je
emrsi
m
2
证：电子的电流密度为
Je
eJ
ei2
m
m
m
m
在球极坐标中为
er
r
1re
e
1rsi
式中er、e、e为单位矢量
Je
eJ
e
i2
m
er
r
1re
e
1rsi
m
m
er
r
1r
e
e
1rsi
m
ie2
er
m
r
m
m
r
m
e
m
1r
m
m
1r
m
e
r
1si
m
m
r
1si
m
m
m中的r和部分是实数。
∴
Je
ie2rsi
im
m
2
im
m
2
e
emrsi
m
2
e
可见，JerJe0
fJe
emrsi
m
2
9如果算符、满足关系式1，求证
①222
②3332
证：①22122
22
212
2
②33223
2223
22213
32
10证明：xyzi证：由对易关系xyyx2iz及对易关系xyyx0，得
xyiz
上式两边乘z，得
xyz
i
2z
∴xyzi
∵
2z
1
11
证明
1S
2S
3S
和
A
组成的正交归一系r
