解：①
d2dx2
x2


2
∴
x2
不是
d2dx2
的本征函数。
②d2exexdx2
∴
ex
不是
d2dx2
的本征函数，其对应的本征值为
1。
③
d2dx2
si

x

ddx
cos
x

si

x
∴
可见，
si

x
是
d2dx2
的本征函数，其对应的本征值为－1。
④
d2dx2
3cos
x

ddx
3si

x

3cos
x

3cos
x
∴
3cosx
是
d2dx2
的本征函数，其对应的本征值为－1。
⑤
d2dx2
si

x

cosx

ddx
cos
x

si

x）
si

x

cos
x
si
xcosx
∴
si

x

cosx
是
d2dx2
的本征函数，其对应的本征值为－1。



4
d2dx2

dx

4

ddx


4

ddx
ddx
dx
4dddx4d4
dxdx
dx

d2dx2


dx

4

d2dx2


dx


4
d2dx2



dx

4
d2dx2
是厄米算符
19问下列算符是否是厄米算符：
①xpx
②
12
xpx

pxx
f解：①1xpx2d1xpx2d
（x1px2dpxx12d
因为pxxpx
∴xpx不是厄米算符。
②

1
12
xpx

pxx2d

12
1xpx

2d

12
1pxx2d
12

pxx1
2d

12
xpx12d

12
xpx

pxx12d


12

px
x

xpx

1

2d
∴
12
xpx

pxx
是厄米算符。
20全同粒子体系的波函数应满足什么条件？
答：描写全同粒子体系的波函数只能是对称的或是反对称的，且它们的对称性不
随时间改变。
二、证明题
1已知粒子在中心力场中运动，试证明Lx（角动量在x方向的分量）是守恒量。
证：因为粒子在势函数为Ur的中心力场中运动时，哈密顿算答是
H

p22
Ur

2
2r
r
r2
r
L22r2
Ur
因为Lx与、有关而与r无关，且LxL20
所以，LxH0
2试证：对于一维运动，设有两个波函数1及2是对应于同一级量E的解，则

1
2


2
1
常数。其中，“’”是对
x
的微商。
2证：因为
2m
d2dx2
Uxx

Ex，所以
1
2mEU2
1
f2
2mEU2
2
1


1
11
凑全微分得：

1
2

2
1



0
积分得：

1
2


2
1
常数
3试证明：一维运动的束缚态都是不简并的。
证明：设1和2是对应于同一能级
E
的不同本征态，则
1
2


2
1
常数。
在特例下，令
1
2


2
1
0，即

1


2
12

1
dx


2
dxC
1
2
由此得：1C2
所以1和2描述同一个态。
4试在一维情况下证明哈密顿算符是厄米算符。证明：考虑一维情况
f为厄密算符
为厄密算符
为实数
为厄密算符
为厄密算符
5已知轨道角动量的两个算符和共同的正交归一化本征函数完备集为取
试证明。
也是和r