2k11aklimak2kklkl1
即两级数均收敛于x1，即cos。而对于x1，有证明两级数发1散，即cos1。0、级数发散。然而对于大多数定解问题，要求u在一切方向保持有限，因而0、可作为自然边界条件而对解提出限制。注意到，l为偶数时，a2k仅有有限个非零项；l为奇数时，a2k仅有限个非零项。因而自然条件要求：l为偶数时，舍去a2k1项；l为奇数时，舍去a2k项，即勒让德方程和自然边界条件构成本征值问题，其本征值为ll1（l为整数）。本征函数为l阶勒让德多项式。§42正则奇点邻线上的级数解法若所选定的点x0是方程ypxyqxy0中px或qx的奇点，则应将pxqx做罗朗级数展开，并设解的最低次幂为s（as0）。即
yxakxx0k代入方程，若能解出s的两个值。则x0称为
ks

正则奇点，否则尝试解不成功。
px
设
km



pkxx0k
kkk0k0
qx
k

qxxyxaxx
ks
f则有：
yss1asxx0s1sas1xx0

s2
s1
pxyspmasxx0s1mspm1ass1pmas1xx0sm
qxyq
asxx0s
q
1asq
as1xx0s
1
当m1或
2时，最低幂项系数和为零，即
spmas0或q
as0或spmasq
as0
这些均解不出s的两个值，则x0不是正则奇点。当m1
2时，则最低幂系数和为ss1sp1q20可解出两个s，则x0为正则奇点（上方程中当m1或
2时p1或p2为零）。对于不同的s，则求出相应的yx组合即为方程的通解。例、在x00的邻线上求解m阶贝塞尔方程。
x2yxyx2m2y0
解：因px，qx1
1x
（m为常数）
m0
m2x2
x00是pxqx的一、二阶极点，
满足m1
2，则x00是方程的正则奇点。令
yxasxsas1xs1as2xs2askxskyxassxs1as1s1xsas2s2xs1askskxsk1yxasss1xs2as1s1sxs1as2s2s1xsasKsksk1xsk2
代入整理有：
fs2m2as0s12m2as10sk2m2askask20
因as0则s
m
（m0）
则sm得as1r