法】函数周期性的判定与应用
1判定：判断函数的周期性只需证明fx＋T＝fxT≠0便可证
明函数是周期函数，且周期为T
2应用：根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数
的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，
则kTk∈Z且k≠0也是函数的周期．
1．定义在R上的函数fx满足f－x＝－fx，fx－2＝fx＋2，
且x∈－10时，fx＝2x＋15，则flog220＝

A．－1
4B5
C．1答案A
D．－45
解析由fx－2＝fx＋2，得fx＋4＝fx，
∴fx的周期T＝4，结合f－x＝－fx，有flog220＝f1＋log210
＝flog210－3＝－f3－log210，
f∵3－log210∈－10，∴flog220＝－23－log210－15＝－45－15＝－1故
选A
2．函数fx＝lgsi
x是A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为2π的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为2π的偶函数答案C
解析易知函数的定义域为xx≠kπ，k∈Z，关于原点对称，又
f－x＝lgsi
－x＝lg－si
x＝lgsi
x＝fx，所以fx是偶函数，
又函数y＝si
x的最小正周期为π，所以函数fx＝lgsi
x是最小正周
期为π的偶函数．故选C
3已知函数fx是－∞，＋∞上的奇函数，且fx的图象关于x
＝1对称，当x∈01时，fx＝2x－1，则f2013＋f2014的值为
A．－2
B．－1
C．0
D．1
答案D
解析∵函数fx为奇函数，则f－x＝－fx，又函数的图象关
于x＝1对称，则f2＋x＝f－x＝－fx，
∴f4＋x＝f2＋x＋2＝－fx＋2＝fx．∴fx的周期为4又函数
的图象关于x＝1对称，∴f0＝f2，
∴f2013＋f2014＝f1＋f2＝f1＋f0＝21－1＋20－1＝1故选
D4．已知定义在R上的奇函数fx满足fx＋1＝－fx，且在01
上单调递增，记a＝f21，b＝f2，c＝f3，则a，b，c的大小关系为
fA．ab＝cC．bca答案A
B．ba＝cD．acb
解析由题意得，fx＋2＝－fx＋1＝fx，即函数fx是以2为
周期的奇函数，所以f2＝f0＝0因为fx＋1＝－fx，所以f3＝－f2＝0又fx在01上是增函数，于是有f12f0＝f2＝f3，即ab＝c故选A
5．已知函数fx＝12x，x≥4，fx＋1，x4，
则f2＋log23的值为11
A24B1211
C6D3答案A
解析∵2＋log234，∴f2＋log23＝f3＋log23．∵3＋log234，∴
f2＋log23＝f3＋log23＝213＋log23＝81×21log23＝18×13＝214故选A6．若y＝fx既是周期函数，又是奇函数，则其导函数y＝
f′xA．既是周期函数，又是奇函数B．既是周期函数，又是偶函数C．不是周期函数，r