形，故A、B相似。
5
f12六、已知矩阵A00
1200
0000
0002
00，求A的广义逆矩阵A。0345
12解：对A进行分块：A00
MA
对M
1200
0000
0002
0M003
0N
0
N
111进行满秩分解，M11222
11112M1111211211012112
对N23进行满秩分解，N2
3I23
2212NI23231I13333
110110A000
七、证明题：1、假如是欧几里德空间V中单位向量，上的线性变换f如下：V对任意xV，fxx2x（镜像变换）。证明：f是V上的正交变换。证明：要证f是V上的正交变换，只要证明f下的矩阵是一个正交矩阵即可。将扩充V上的一组标准正交基23
，
10510500
000200133001354
f22
6
ff22222f
2



100010f2
2
0001
可看出，f下的矩阵中，所有的行向量或列向量均为单位正交向量，故f是V上的正交变换。2、设H阵A，B均是正定的，并且ABBA，证明：AB是正定矩阵。证明：A，B均是正定的H阵，故A
H
A，BHB，且酉矩阵P、Q，stAPHPBQHQ
要证明AB是正定矩阵，首先要证AB是H阵。
ABHBHAHBA
HHABPPQQ1
AB是H阵。
H
HHHQQPPQQ1QQP
PQ
1
Q
QHHQP
H
PQ
Q
即AB∽PQHHPQH，PQHHPQH是正定矩阵，故PQH的特征值均大于0，所认AB特征值也大于0，故AB正定。
7
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