Fb0即
gagb2gab0。又设GxFxxal
2，则Gxl
xl
axl
2l
xl
ax
2
2
当x0时Gx0，因此Gx在0上为减函数，因为Ga0ba所以Gb0即
gagb2gabbal
2。2
【题型6】构造二阶导数函数证明导数的单调性
【例6】已知函数fxaex1x22
⑴若fx在R上为增函数求a的取值范围⑵若a1求证x0时fx1x。
【解析】⑴fxaexxfx在R上为增函数，fx0对xR恒成立，即axex对xR恒
成立，记gxxex，则gxexxex1xex，当x1时，gx0；当x1时，gx0，
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f知gx在1上为增函数在1上为减函数gx在x1时取得最大值，即
gxmax

g1

1ae

1e
，即a
的取值范围是

1e



。
⑵记Fxfx1xex1x21xx0，则Fxexx1，令hxFxexx1则2
hxex1。当x0时hx0hx在0上为增函数又hx在x0处连续
hxh00，即Fx0Fx在0上为增函数又Fx在x0处连续FxF00
即fx1x。
【小结】当函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立，从而把不等式的恒成立问题可转化为求函数最值问题．不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为mfx或mfx恒成立，于是m大于fx的最大值（或m小于fx的最小值），从而把
不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题．因此，利用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种重要方法。
【题型7】对数法构造函数（选用于幂指数函数不等式）
【例7】证明当x0时1
11
xx
1x
e2
。
【证明】对不等式两边同时取对数得11l
1x1x，化简得21xl
1x2xx2，设辅助函
x
2
数fx2xx221xl
1xx0fx2x2l
1x，又fx2xx0，则可知fx在1x
0上严格单调增加，从而fxf00x0
又由fx在0上连续，且fx0得fx在0上严格单调增加，所以fxf00x0，
即2x

x2
21
xl
1
x

02x
x2

21
xl
1
x
，故1
11
xx

1x
e2
。
【题型8】构造形似函数
【例8】证明当bae，证明abba。
【解析】bae要证abba，只需证bl
aal
b，即l
al
b。设fxl
xxe
ab
x
f
x

1l
x2
x

0，易知
f
x
在e
上是减函数，又b
a
e，所以结论得证。
【例9】已知m
都是正整数，且1m
证明：1m
1
m
【证明】原不等式等价于l
1ml
1
，令fxl
1xx2，则
m


x
f
x

x
1xl
11xx2
x

x
xr