判断所设函数的单调性,再根据函数单调性的定义,证明要证的不等式。读者也可以设Fxfxgx做一做,深刻体会其中的思想方法。
【题型3】换元法构造函数证明
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f【例3】证明:对任意的正整数
,不等式l
1
1
1
2
1
3
都成立。
【分析】本题是2007年山东卷的第⑵问,从所证结构出发,只需令1x,则问题转化为:当x0时,
恒有l
x1x2x3成立,现构造函数hxx3x2l
x1,求导即可达到证明。
【解析】令hxx3x2l
x1,则hx3x22x13x3x12在x0上恒正,所
x1
x1
以函数hx在0上单调递增,x0时,恒有hxh00,即x3x2l
x10,∴
l
x
1
x2
x3,对任意正整数
,取
x
10
,则有l
1
1
1
2
1
3
。
【警示启迪】我们知道,当Fx在ab上单调递增,则xa时,有FxFa。如果faa,
要证明当xa时,fxx,那么,只要令Fxfxx,就可以利用Fx的单调增性来
推导,也就是说,在Fx可导的前提下,只要证明Fx0即可。
【题型4】从条件特征入手构造函数证明【例4】若函数yfx在R上可导且满足不等式xfxfx恒成立,且常数ab满足ab,求证:afabfb。
【解析】由已知xfxfx0构造函数Fxxfx,则Fxxfxfx0Fx在R上为增函数,abFaFb,即afabfb。
【警示启迪】由条件移项后xfxfx,容易想到是一个积的导数,从而可以构造函数Fxxfx,
求导即可完成证明。若题目中的条件改为xfxfx,则移项后xfxfx,要想到是一个商的导数的分子,平时解题多注意总结。
【题型5】主元法构造函数【例5】已知函数fxl
1xxgxxl
x⑴求函数fx的最大值;
⑵设0ab证明:0gagb2gabbal
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【分析】对于⑵绝大部分的学生都会望而生畏学生的盲点也主要就在对所给函数用不上。如果能挖掘一下所给函数与所证不等式间的联系,想一想大小关系又与函数的单调性密切相关,由此就可过渡到根据所要证的不等式构造恰当的函数,利用导数研究函数的单调性,借助单调性比较函数值的大小,以期达到证明不等式的目的证明如下:
【证明】对gxxl
x求导则gxl
x1。在gagb2gab中以b为主变元构造函数设2
Fxgagx2gax则Fxgx2gaxl
xl
ax。
2
2
2
①当0xa时,Fx0因此Fx在0a内为减函数;②当xa时Fx0因此Fx在a
上为增函数。从而当xa时Fx有极小值Fa。因为Fa0ba所以r