，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系；数列与不等式、函数、方程的交汇问题，可以结合数列的单调性、最值求解．例3已知等差数列a
的公差为－1，且a2＋a7＋a12＝－61求数列a
的通项公式a
与其前
项和S
；2将数列a
的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列b
的前3项，记b
的前
项和为T
，若存在m∈N，使得对任意
∈N，总有S
Tm＋λ恒成立，求实数λ的
4

f取值范围．解1由a2＋a7＋a12＝－6，得a7＝－2，∴a1＝4，∴a
＝5－
，从而S
＝

9－
2

∈N．

2由题意知b1＝4，b2＝2，b3＝1，设等比数列b
的公比为q，
b21则q＝＝，b12
1m41－21m∴Tm＝＝81－，121－21m∵随m的增加而减少，2
∴Tm为递增数列，得4≤Tm8又S
＝

9－
2
12＝－
－9
2
19281＝－
－－，224故S
max＝S4＝S5＝10，若存在m∈N，使得对任意
∈N，总有S
Tm＋λ，则108＋λ，得λ2即实数λ的取值范围为2，＋∞．思维升华1等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便．2数列的项或前
项和可以看作关于
的函数，然后利用函数的性质求解数列问题．3数列中的恒成立问题可以通过分离参数，通过求数列的值域求解．跟踪演练3已知数列a
的前
项和为S
，且S
－1＝3a
－1，
∈N1求数列a
的通项公式；2设数列b
满足a
＋1＝

32
a
b

，若b
≤t对于任意正整数
都成立，求实数t的取值范围．
解1由已知得S
＝3a
－2，令
＝1，得a1＝1，又a
＋1＝S
＋1－S
＝3a
＋1－3a
，3得a
＋1＝a
，2
5
f3所以数列a
是以1为首项，为公比的等比数列，2
3
－1所以a
＝
∈N．2
32由a
＋1＝2
1
a
b

，

32
－1得b
＝log3a
1＝log32a
32
2
2
－1＝
，32
2
－1所以b
＋1－b
＝
＋1－
33
2＝
2－
，344所以b
max＝b2＝b3＝，所以t≥33
－1
4即t的取值范围为，＋∞3
真题体验1．2017全国Ⅰ改编记S
为等差数列a
的前
项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则a
的公差为________．答案4解析设a
的公差为d，
a4＋a5＝24，由S6＝48，
a1＋3d＋a1＋4d＝24，得6×56a1＋d＝48，2
解得d＝42．2017浙江改r