用定义，证明a
＋1－a
∈N为一常数；②利用等差中项，即证明2a
＝a
－1＋a
＋1
≥2，
∈N．2证明数列a
是等比数列的两种基本方法：①利用定义，证明

a
＋1
∈N为一常数；a
2
②利用等比中项，即证明a
＝a
－1a
＋1
≥2，
∈N．11例2已知数列a
，b
，其中a1＝3，b1＝－1，且满足a
＝3a
－1－b
－1，b
＝－a
－1－223b
－1，
∈N，
≥21求证：数列a
－b
为等比数列；
2的前
项和T
2求数列a
a
＋1


1证明
a
－b
＝3a
－1－b
－1－－a
－1－3b
－1＝2a
－1－b
－1，2
12
1
又a1－b1＝3－－1＝4，所以a
－b
是首项为4，公比为2的等比数列．2解由1知，a
－b
＝2
＋1
，①
11又a
＋b
＝3a
－1－b
－1＋－a
－1－3b
－1＝a
－1＋b
－1，22又a1＋b1＝3＋－1＝2，所以a
＋b
为常数数列，a
＋b
＝2，②联立①②得，a
＝2＋1，2


a
a
＋1
＝
211＝
－
＋1，
＋12＋12＋12＋12＋1



所以T
＝＝
11－21＋21－31＋＋
1－
＋12＋12＋12＋121＋12＋12＋1
1111－
＋1＝－
＋1
∈N．12＋12＋132＋1
思维升华1判断一个数列是等差比数列，也可以利用通项公式及前
项和公式，但不能作为证明方法．2a
＝a
－1a
＋1
≥2是数列a
为等比数列的必要不充分条件，判断时还要看各项是否为零．跟踪演练22018新余模拟已知a
是各项都为正数的数列，其前
项和为S
，且S
为a
1与的等差中项．
2
a

3
f1求证：数列S
为等差数列；2求数列a
的通项公式；－13设b
＝，求b
的前
项和T


2
a

121证明由题意知2S
＝a
＋，即2S
a
－a
＝1，
a

当
≥2时，有a
＝S
－S
－1，代入式得2S
S
－S
－1－S
－S
－1＝1，整理得S
－S
－1＝1
≥2．又当
＝1时，由式可得a1＝S1＝1，∴数列S
是首项为1，公差为1的等差数列．2解由1可得S
＝1＋
－1＝
，∵数列a
的各项都为正数，∴S
＝
，∴当
≥2时，a
＝S
－S
－1＝
－
－1，又a1＝S1＝1满足上式，∴a
＝
－
－1
∈N．－13解由2得b
＝＝

22222
－1


a

－
－1
＝－1
＋
－1，当
为奇数时，


T
＝－1＋2＋1－3＋2＋＋
－1＋
－2－
＋
－1＝－
，
当
为偶数时，
T
＝－1＋2＋1－3＋2＋－
－1＋
－2＋
＋
－1＝
，
∴数列b
的前
项和T
＝－1


∈N．
热点三等差数列、等比数列的综合问题解决等差数列、等比数列的综合问题r