太原理工大学《线性代数》练习册（一）
一判断题（正确打√，错误打×）
1
阶行列式aij的展开式中含有a11的项数为
1×
正确答案：
1
解答：方法1因为含有a11的项的一般形式是a11a2j2a
j
，其中j2j3j
是
1级全排列的全体，所以共有
1项
方法2由行列式展开定理
a11a12a1

a21
a22

a2

a11A11a12A12a1
A1
，
a
1a
2a

而a12A12a1
A1
中不再含有a11，而A11共有
1项，所以含有a11的
项数是
1
注意：含有任何元素aij的项数都是
1
2若
阶行列式aij中每行元素之和均为零，则aij等于零√
a11a12a1

解答：将a21

a22

a2

中的2、3、、
列都加到第一列，则行
a
1a
2a

列式中有一列元素全为零，所以aij等于零
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a100b1
30a2b20a1b1a2b2√
0b3a30b4a4b3a3b400a4
解答：方法1按第一列展开
a100b1
00
a2b2b3a3
00

a1a4
a2b3
b2a3

b1b4
a2b3
b2a3

b400a4

a1a4

b1b4

a1b4
b1a1a4b4
b1a2a4b3
b2a3
方法2交换2，4列，再交换2，4行
a100b1
a1b100a1b100
0a2b20b3a3
00
00
0b2a2b4a400a1b1a2b2
0a3b300a3b3b4a4b3a3
b400a4b4a40000b2a2
方法3Laplace展开定理：设在
行列式D中任意取定了
k1k
1个行，由这k行元素所组成的一切k阶子式与它们的
代数余子式的乘积之和等于行列式D。
所以按2，3行展开
a100b1
0a2b2012323a1b1a2b2a1b1a2b2
0b3a30
b4a4b3a3b4a4b3a3
b400a4
4若
阶行列式aij满足aijAiji，j12，
则aij0√
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解答：由行列式展开定理
a11a12a1
a21a22a2
a
1a
2a

a11A11a12A12a1
A1
a121a122a12
0
5若
阶行列式aij的展开式中每一项都不为零则aij0×
解答：反例如120
24
二单项选择题
1111
1方程1
1
24
24
xx2
0的根为（B）
188x3
（A）123；（B）122；
（C）012；
（D）112
解答：（范德蒙行列式）
1111
11
24
24
xx2

212122x1x2x2
0，
188x3
所以根为122
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a11a12a13
2a11a13a11a12
2已知a21a22a23a那么2a21a23a21a22（D）
a31a32a33
2a31a33a31a32
（A）a；（B）a；
C2a；
（D）2a
解答：
2a11a13a11a12
a11a13a12
2a21a23a21a222a21a23a222a。
2a31a33a31a32
a31a33a32
xyz0
3已知齐次线性方程组x3yz0仅有零解，则（A）
yz0
（A）0且1；（B）0或r