第8讲
最新考纲
立体几何中的向量方法二求空间角
1能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题；
2了解向量方法在研究立体几何问题中的应用
知识梳理1异面直线所成的角设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则
a与b的夹角β
范围求法0，π
l1与l2所成的角θ
0，π2
abcosθ＝cosβ＝ab
abcosβ＝ab
2求直线与平面所成的角设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为
，直线l与平面α所成的角为θ，则si
θa
＝cos〈a，
〉＝a
3求二面角的大小1如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ→→＝__〈AB，CD〉
2如图②③，
1，
2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ＝cos〈
1，
2〉，二面角的平面角大小是向量
1与
2的夹角或其补角诊断自测1判断正误在括号内打“√”或“×”1两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角
2直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角3两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角
ππ4两异面直线夹角的范围是0，，直线与平面所成角的范围是0，，二面角的范围是22
0，π答案1×2×3×4√2选修2－1P104练习2改编已知两平面的法向量分别为m＝0，1，0，
＝0，1，1，则
1
f两平面所成的二面角为A45°C45°或135°
B135°D90°
m
12解析cos〈m，
〉＝＝＝，即〈m，
〉＝45°m
122
∴两平面所成二面角为45°或180°－45°＝135°答案C32014全国Ⅱ卷在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，
BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为
AC1103010BD2522

解析建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz，设BC＝2，则B0，2，0，
A2，0，0，M1，1，2，N1，0，2，所以BM＝1，－1，2，AN＝－1，
→→BMAN3300，2，故BM与AN所成角θ的余弦值cosθ＝＝＝→→106×5BMAN答案C→1→→4正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且AM＝MC1，N为B1B的中点，则MN为2AC21a615a6BD6a615a3
→
→
解析以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则Aa，0，0，C10，a，a，
aNa，a，

2
设Mx，y，z，→1→∵点M在AC1上且AM＝MC1，21x－a，y，z＝－x，a－y，a－z22aa∴x＝a，y＝，z＝333→2aar