专题17
★★★高考在考什么
空间向量及应用
【考题回放】1．在正方体A1B1C1D1ABCD中，M、N分别是棱A1A和B1B的中点，若θ为直线CM与D1N所成的角，则si
θ等于（）A．
2．直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ACB900ACAA1a，则点A到平面A1BC的距离是（C）S2A．aB．2aC．aD．3a2D3．如图，正四面体SABC中，D为SC的中点，则BD与SA所成角的余弦值是（C）CA3232A．B．C．D．3366B4．在正三棱锥PABC中，M、N分别是侧棱PB、PC的中点，若截面AMN⊥侧面PBC，则此三棱锥的侧棱与底面所成角的正切值是（C）A．
19
B．
23
C．
257
D．
459
5．在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC900，ABBB11，直线B1C与平面ABC成300角，则二面角BB1CA的正弦值6。
3
32
B．2
C．
52
D．
62
6．在三棱锥SABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SASC23，M、N分别为AB、SB的中点。（1）证明：AC⊥SB；（2）求二面角NCMB的大小；（3）求点B到平面CMN的距离．【专家解答】（1）取AC中点O，连结OS、OB．∵SASC，ABBC，∴AC⊥SO且AC⊥BO．∵平面SAC⊥平面ABC，∴SO⊥面ABC，∴SO⊥BO．如图建立空间直角坐标系O－xyz．则A（2，0，0），B（0，23，0），C（－2，0，0），S（0，0，22），M1，3，0，N0，3，2．∴AC（－4，0，0），SB（0，23，－22），∵AC（0，23，－22）0，∴AC⊥SB．SB（－4，0，0）（2）由（1）得CM（3，3，0），MN（－1，0，2）．设
（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，∴
2，－6，1，又OS0，0，22为平面ABC的一个法向量，
f∴cos
，OS
11．∴二面角N－CM－B的大小为arccos．3
OS3

OS
（3）由12得MB－130，
2－61为平面CMN的一个法向量∴点B到平面CMN的距离d

MB42．3

★★★高考要考什么
【考点透视】用空间向量可以解决的立体几何问题有：1．利用两个向量共线和共面定理可证明有关线线平行线面平行面面平行问题2．利用两个向量垂直的充要条件可以证明有关线线线面面面垂直问题3．利用两个向量的夹角公式可以求解有关角的问题4．利用向量的模及向量在单位向量上的射影可以求解有关的距离问题【热点透析】空间向量解立体几何问题的基本步骤是：1．建立适当的坐标系；2．确定相关点的坐标；3．求平面的法向量；4．利用公式求答案。
★★★突破重难点
【范例1】如图在直三棱柱ABCA1B1C1中，
AC3BC4AB5AA14点D为AB的中点A1Ⅰ求证ACBC1Ⅱ求r