相关;(3)此时,XZ是否相互独立.【详解】(1)显然X的概率密度函数为fXx先求ZXY的分布函数:
exx00x0
.
FZzPZzPXYzPXzY1PXzY11pPXzpPXz(1)FXzp1FXz
再求ZXY的概率密度:
pezz0fZzFZzpfXz1pfXz0z01pezz0
(2)显然EX1DX1EY12p;由于随机变量XY相互独立,所以EZEXYEXEY12p;
EXZEX2YEX2EY24p;COVXZEXZEXEZ12p;
要使XZ不相关,必须COVXZEXZEXEZ12p0,也就是p05时XZ不相关;(3)XZ显然不相互独立,理由如下:设事件AX1,事件BZ1,则
PAPX1exdxe1;
1
1PBPZ1PX1Y1PX1Y11e1;21PABPX1Z1PX1XY1PX1YPX1PY1pe1,当x
p05时,显然PABPAPB,也就是XZ显然不相互独立.
Ax2e2x23.(本题满分11分)设总体X的概率密度为fx,其中是已知参数,是未知0x
2
9
f参数,A是常数,X1X2(1)求常数A的值;
X
是来自总体X的简单随机样本.
(2)求2的最大似然估计量.
【详解】(1)由
fxdx1可知
A
e
x222
dx2Ae
0
t2
2
td2
2A1
所以A
2
.
似然函数为LX1X2
X
2
i1
Xi2
i12Afxi
e2xi,0其他
取对数,得l
LX1X2
1X
2
l
Al
2222
X
i1
i
2
dl
LX1X2X
2
11解方程Xi20,得未知参数2的最大似然估计2222d22i1
量为2
1
Xi2.
i1
10
fr