2009年全国高中数学联合竞赛一试试题
一、填空（共8小题，每小题7分，共56分）x991若函数fx若函数且f
xfffLfx，则f142144244431x

．
2已知直线Lxy90和圆M2x2y8x8y10，点A在直线L上，B，C为圆M上已知直线两点，两点，在ABC中，∠BAC45°，AB过圆心M，则点A横坐标范围为．
22
y≥03在坐标平面上有两个区域M和N，M为y≤x变化的区域，在坐标平面上有两个区域，N是随t变化的区域，它由不等式y≤2x
t≤x≤t1所确定，t的取值范围是0≤t≤1，则M和N的公共面积是函数ft所确定，的取值范围是
．
4使不等式
为．
1111La2007对一切正整数
都成立的最小正整数a的值
1
22
13
．
5椭圆
x2y21ab0上任意两点P，，OP⊥OQ，Q若则乘积OPOQ的最小值为a2b26若方程lgkx2lgx1仅有一个实根，那么k的取值范围是仅有一个实根，．
7一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，后一行仅有一个数，个正整数按从小到大排成的行，后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是（可以用指数表示）以用指数表示）8某车站每天800900，90010∶00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两∶∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，者到站的时间是相互独立的，者到站的时间是相互独立的，其规律为810∶830∶850∶到站时刻910∶930∶950∶111概率623∶到车站，精确到分）一旅客820到车站，则它候车时间的数学期望为（精确到分）．二、解答题x2y21（本小题满分14分）设直线lykxm（其中k，m为整数）与椭圆为整数）1交于不同两1612uuuruuurx2y21交于不同两点C，D，点A，B，与双曲线问是否存在直线l，使得向量ACBD0，412若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．2（本小题15分）已知p，qq≠0是实数，方程x2pxq0有两个实根α，β，数列a
是实数，
4L满足a1p，a2p2q，a
pa
1qa
2
3，，
Ⅰ求数列a
的通项公式（用α，β表示）r