习题三作业参考解答
２．设αβ23104，αβ681114．求α，β．解：α
111123104681114254，222151β23104681114460。222３．设3α1α2α2αα32α，其中α11231，α20211，α31021，求α．
解：由3α1α2α2αα32α3α13α2α22αα32αα3α12α2α3４．把向量β表示为向量组α1α2α3α4的线性组合：1
α11111，α21110，α31100，α41000，β0201；解：设k1α1k2α2k3α3k4α4β
k1k2k3k40k11kkk2k11232β1×α11×α22×α32×α4k1k20k32k42k11
2α111111T，α212131Tα311010T，α422000T，β01010T．解：设k1α1k2α2k3α3k4α4β
k1k2k32k40k11k2kk2k12341k112k1k20k31β1×α11×α21×α3×α42k3kk11123k4k1k202
５．设a1a2La
是互不相同的数，α11a1a1La1，α21a2a2La2，L，
2
1
2

1
2
α
1a
a
La
1．证明：任一
维行向量都可由向量组α1α2Lα
线性表示．解：设βb1b2Lb
为任意的
维行向量，并设k1α1k2α2Lk
α
β，由此得到一个以k1k2Lk
为未知量，
个方程的线性方程组，其系数行列式为范德蒙行列式，且不等于0（因为a1a2La
是互不相同的数），由克莱姆法则知，该线性方程组有唯一解，故β可由α1α2Lα
线性
表示，且表示方法唯一。６．判断下列向量组的线性相关性：1α11100，α21010，α30011，α41001；
k1k2k40k10k0k10解：设k1α1k2α2k3α3k4α402∴α1α2α3α4线性无关。k2k30k30k40k3k40TTT2α143111，α221325，α313012，α415226T．
解：仿（1）。７．
ab证明：上三角矩阵A0d00
ce的行向量组线性相关的充要条件是主对角线上的元素至少有一f
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f个为零．
ak10而r