习题三作业参考解答
2设αβ23104αβ681114求αβ解α
111123104681114254222151β231046811144602223设3α1α2α2αα32α其中α11231α20211α31021求α
解由3α1α2α2αα32α3α13α2α22αα32αα3α12α2α34把向量β表示为向量组α1α2α3α4的线性组合1
α11111α21110α31100α41000β0201解设k1α1k2α2k3α3k4α4β
k1k2k3k40k11kkk2k11232β1×α11×α22×α32×α4k1k20k32k42k11
2α111111Tα212131Tα311010Tα422000Tβ01010T解设k1α1k2α2k3α3k4α4β
k1k2k32k40k11k2kk2k12341k112k1k20k31β1×α11×α21×α3×α42k3kk11123k4k1k202
5设a1a2a
是互不相同的数α11a1a1a1α21a2a2a2
2
1
2

1
2
α
1a
a
a
1证明任一
维行向量都可由向量组α1α2α
线性表示解设βb1b2b
为任意的
维行向量并设k1α1k2α2k
α
β由此得到一个以k1k2k
为未知量
个方程的线性方程组其系数行列式为范德蒙行列式且不等于0因为a1a2a
是互不相同的数由克莱姆法则知该线性方程组有唯一解故β可由α1α2α
线性
表示且表示方法唯一6判断下列向量组的线性相关性1α11100α21010α30011α41001
k1k2k40k10k0k10解设k1α1k2α2k3α3k4α402∴α1α2α3α4线性无关k2k30k30k40k3k40TTT2α143111α221325α313012α415226T
解仿17
ab证明上三角矩阵A0d00
ce的行向量组线性相关的充要条件是主对角线上的元素至少有一f
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f个为零
ak10而齐次线性方程组有解矩阵A的行向量线性相关的充要条件是齐次线性方程组bk1dk20有非零解ckekfk0231a00
非零解的充分必要条件是其系数行列式Db
dce
0adf0故矩阵A的行向量线性相关的充要条件是Af
的主对角线上的元素至少有一为零8设β1α1α2β2α2α3β3α3α4β4α4α1证明向量组β1β2β3β4线性相关解要证明β1β2β3r