竖直平面内的圆周运动
圆周运动的临界问题
竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周动物，其合外力一般不指向圆心，但在最高点和
最低点时合外力沿半径指向圆心，全部提供向力，这类问题经常出现临界状态，下面对临界
状态进行分析
1．没有物体支撑的小球（绳类约束）
讨论在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，如图所示：
①临界速度v0：小球运动在最高点时，受的重力和弹力方向都向下，C
当弹力等于零时，向心力最小，仅由重力提供．由牛顿运动定律知
mgm
v2R
，得小球过圆周轨道最高点的临界速度为
v0

gR，它是小球
Av
RO
能过圆周最高点的最小速度．
②当
v2
mgm
，即
v
gR，小球能过圆周的最高点，此时绳和轨道分别对小球产生
R
拉力和压力．
③当
v2
mgm
，即
v
R
gR，小球不能过圆周的最高点，小球在达到最高点之前就已
经脱离了圆轨道．小球脱离圆周的临界条件是弹力为零．
【例题1】如图所示，一质量为05kg的小球，用04m长的细线拴住在竖
直面内作圆周运动，求：（1）当小球在圆上最高点速度为4ms时，细线的
拉力是多少？（2）当小球在圆上最低点的速度为4Γ2时，细线的拉力是多
少？（g10ms2）
练1、把盛水的水桶拴在长为L的绳子一端，使这水桶在竖直平面做圆周运动，要使水在水
桶转到最高点时不从桶里流出来，这时水桶的线速度至少应该是
A2gl
Bgl2
Cgl
D0
练2、用长为l的细线拴一个小球使其绕细线的加一端在竖直平面内做圆周运动，当球通过
圆周的最高点时，细线受到的拉力等于球重的2倍，已知重力加速度为g，则球此时的速度
大小为___，角速度大小为_
_，加速度大小为_
__。
2．有物体支撑的小球（杆类约束）
v
讨论在竖直平面内做圆周运动的情况，如图所示．
①临界速度v0：由于轻杆或管状轨道对小球有支撑作用，因此小球
杆
在最高点的速度可以为零，不存在“掉下来”的情况．小球恰能达到最高点
O
的临界速度v00．
②小球过最高点时，所受弹力情况：
A．小球到达最高点的速度v0，此时轻杆或管状轨道对小球的弹力Nmg．
1
fB．当小球的实际速度vgR时，产生离心趋势，要维持小球的圆周运动，弹力方向
应向下指向圆心，即轻杆对小球产生竖直向下的拉力，管状轨道对小球产生竖直向下的压力，
因此
FN
m
v2R
mg，所以弹力的大小随
v
的增大而增大。
C．当0vgR时，小球有向心运动的趋势，弹力方向应向上背离圆心，即轻杆或管
状轨道对小球的作用力为竖直向上的支持力，因为FN
mgm
v2R
，所以FN
的数值随
v
r