建模存在一定的困难。但是经过假设忽略掉一些次要的因素后倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程关系。
在此我们首先应用动力学方程建立一级倒立摆的非线性数学模型采用小偏差线性化的方法在平衡点附近局部线性化得到线性化的数学模型然后应用状态空间分析方法采用状态反馈为倒立摆系统建立稳定的控制律最后应用状态观测器实现倒立摆系统的稳定控制。
22倒立摆的数学模型
倒立摆示意图如图21所示通过对小车施加一定的驱动力使倒立摆保持一定的位姿。
图21倒立摆示意图
221本设计中所用到的各变量的取值及其意义
小车质量Mm小球的质量l倒摆的杆长g重力加速度θ表示倒摆偏离垂直方向的角度u是小车受到的水平方向的驱动力
222动力学模型
小球受力分析如图22所示其中ccyx表示小球的重心坐标
f图22小球受力分析示意图
通过受力分析由牛顿第二运动定律系统的运动满足下面的方程
x轴方向uxdt
dmxdtdM
G22
22
小球的重心坐标满足ulxdt
dmxdtdMsi
22
22θ
整理后得umlmlxmM
2
cossi
θθθθ小球的力矩平衡方程lmglFlcoosFyxsi
si
θθθ
θ
θθθθθθθθθθθsi
si
cossi
coscossi
cos
2
2
2
2
mgmlmlmlmlxm整理可得θθθsi
cos
mgmlxm最后得到倒立摆系统的动力学方程umlmlxmM
2
cossi
θθθθθθθsi
cos
mgmlxm
θsi
lxxG
θcoslyG
cossi
2
22θθθθllxmxdt
dmFGx
si
cos2
22θθθθllmydt
dmFGy
f显然该系统为明显的非线性系统。但是对小车施加驱动力的目的是要保持小球在垂直方向的姿态因此我们关注的是小球在垂直方向附近的动态行为变化为此将系统在该参考位θ0附近进行线性化处理。
23模型转化
微分方程→状态方程由倒摆系统的动力学模型
取如下状态变量
343121zxzxzzzzθθ可得到倒摆系统的状态方程
22111122
14212112
1cossi
cossi
cossi
cossi
coszuzMmgzmlzzzmlzMmlddzzdtdtxxumlzzmgzzMmmzθθ




24状态方程的线性化
采用Jacobia
矩阵线性化模型最终得到系统的线性化状态方程为
010
001000000101000MmgdzMl
Mlzu
dt
mg
M
M



假定系统的输出为倒摆的角度和小车的x轴坐标则系统的输出方程为
10000
1
0yCZzxxθθθ
r