考点37抛物线
一、选择题12017全国乙卷理科T10已知F为抛物线Cy24x的焦点过F作两条互相垂直的直
线l1l2直线l1与C交于AB两点直线l2与C交于DE两点则ABDE的最小值为A16B14C12D10【命题意图】考查抛物线的相关性质并以抛物线为载体考查直线与抛物线位置关系问题【解析】选A方法一设直线l1方程为yk1x1
y联立方程

2
4x
yk1x1
kkk得2x222x4x20
1
1
1
设Ax1y1Bx2y2Dx3y3Ex4y4
所以
x1x2
2k12k12
4

2k12k12
4

224
k同理直线l2与抛物线的交点满足x3x4
22
k2
由抛物线定义可知ABDEx1x2x3x42p
kk2

242
2
24
24
4

4
8≥2
16816
k21
k22
kk2
2
1
2
kk2212
当且仅当k1k21或1时取得等号
方法二不妨设AB倾斜角为θ

0



2

作
AK1
垂直于准线垂足为
K1AK2
垂直
x
轴垂足
为K2准线交x轴于点G

易知

AFcos
AK1AF
GFAK1几何关系
抛物线特性


GF

p2



p2


p
所以AFcosθpAF
同理AFPBFP
1cos
1cos
所以
AB
2P
1cos2

2P
si
2

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f又DE与AB垂直即DE的倾斜角为θ2
DE

2P
si

2

2



2P
cos2

而y24x即p2
所以
AB

DE
2p
1
si
2

1
cos2

4
si
2cos2si
2cos2

4
si
2cos2

4
14
si

22
si

1622
≥16当θ
4
取等号
即ABDE最小值为16故选A
二、简答题
22017浙江高考T21如图已知抛物线
x2y点
A


12

14

B

32

94

抛物线上的点
Pxy


12

x

32

过点
B
作直线
AP
的垂线垂足为
Q
1求直线AP斜率的取值范围
2求PAPQ的最大值
【命题意图】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识同时考查解析
几何的基本思想方法和运算求解能力
【解析】1设直线AP的斜率为k
k
x2

14
x
1

x12
2
因为1x3所以直线AP斜率的取值范围是1122
2联立直线AP与BQ的方程
2
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fkx

y

12
k

14

0

x

ky

94

32

0
解得点Q的横坐标是xQk24k32k21
因为PA
k
2

1

x

12


k21k1
PQk21xQxk1k12
k21
所以PAPQk1k13令fkk1kr