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等比数列
●知识梳理1定义数列a
从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列常数叫公比－2通项公式：a
a1q
1，－推广形式：a
amq
m变式：q
m
a
（
、m∈N）am

a1q13前
项和S
a11q
a1a
q1q1q
注：q≠1时，
q0或q1
S
1q
Sm1qm
4等比中项：若a、b、c成等比数列，则b为a、c的等比中项，且b±ac5三个数或四个数成等比数列且又知积时，则三个数可设为
aa、a、aq，四个数可设为3、qq
a、aq、aq3为好q
6证明等比数列的方法：（1）用定义：只需证
a
1常数；（2）用中项性质：只需a

a
12a
a
2或
a
1a
2a
a
1
●点击双基1一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角是
51215Carccos2
Aarccos解析：设Rt△ABC中，C
51215Darcsi
2
Barcsi

π，则A与B互余且A为最小内角又由已知得si
2Bsi
A，25151即cos2Asi
A，1－si
2Asi
A，解之得si
A或si
A（舍）22
f答案：B2设a
是由正数组成的等比数列，公比q2，且a1a2a3a30230，那么a3a6a9a30等于A210B220C216D215解析：由等比数列的定义，a1a2a3（
3
a33aaa9a30），故a1a2a3a30（3610）qq
又q2，故a3a6a9a30220答案：B3某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20，要使水中杂质减少到原来的5以下，则至少需过滤的次数为A5B10C14D15解析：由题意列式（1－20）
＜5，两边取对数得
＞
lg21≈134故
≥1413lg2
答案：C4（2004年全国，文14）已知等比数列a
中，a33，a10384，则该数列的通项a
___________________解析：由已知得q7
－
a10－－12827，故q2∴a
a3q
332
3a
答案：32
35如下图，在杨辉三角中，从上往下数共有
（
∈N）行，在这些数中非1的数字之和是___________________111121133114641
1解析：观察可知，第
（
∈N）行中有
个数，从左向右依次是二项式系数C0
1，C
1，

112
2C2
1，，C
1，故当
≥3时，除了1外，第
行各数的和为a
C
1C
1C
12
－1
－2又前两行全部为数字1，故前
行非1的数字之和为a3a4a
2
－2
答案：2
－2
●典例剖析【例1】已知等比数列a
中，a1a2a37，a1a2a38，求a
剖析：利用等比数列的基本量a1，q，根据条件求出a1和q解：设a
的公比为q，由题意知
2a1a1qa1q7r