）23．（2007龙岩）如图，抛物线yax5ax4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥轴，点A在x轴上，点C在y轴x上，且ACBC．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出A，B，C三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在△PAB是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由．
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考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）根据抛物线的解析式，利用对称轴公式，可直接求出其对称轴．（2）令x0，可求出C点坐标，由BC∥轴可知B，C关于抛物线的对称轴对称，可求出B点坐标，根据xACBC可求出A点坐标．（3）分三种情况讨论：①AB为腰且顶角为∠以A，先求出AB的值，再利用等腰三角形的性质结合勾股定理求出P1N的长，即可求出P1的坐标；②AB为腰且顶角为角B，根据MN的长和MP2的长，求出P2的纵坐标，已知其横坐标，可得其坐标；以③AB为底，顶角为角P时，依据Rt△3CK∽BAQ即可求出OK和P3K的长，可得P3坐标．以PRt△解答：解：（1）抛物线的对称轴x；分）（2
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（2）由抛物线yax5ax4可知C（0，4），对称轴x∴BC5，B（5，4），又ACBC5，OC4，在Rt△AOC中，由勾股定理，得AO3，∴A（3，0）B（5，4）C（0，4）分）（5把点A坐标代入yax5ax4中，解得a，（6）∴yxx4．分）（7
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，
（3）存在符合条件的点P共有3个．以下分三类情形探索．设抛物线对称轴与x轴交于N，与CB交于M．过点B作BQ⊥轴于Q，x易得BQ4，AQ8，AN55，BM．①AB为腰且顶角为角A的△以PAB有1个：△1AB．P22222∴AQBQ8480（8分）AB在Rt△ANP1中，P1N∴1（，P）（9分）．，
②AB为腰且顶角为角B的△以PAB有1个：△2AB．P在Rt△BMP2中MP2
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∴2（，P
③AB为底，顶角为角P的△以PAB有1个，即△3AB．P画AB的垂直平分线交抛物线对称轴于P3，此时平分线必过等腰△ABC的顶点C．过点P3作P3K垂直y轴，垂足为K，∵CP3K∠∠ABQ，∠3∠CKPAQB，∴△P3CK∽△BAQ．RtRt∴．
∵3K25P∴CK5于是OK1，（13分）∴3（25，1）（14分）P．
点评：此题考查了用对称轴公式求函数对称轴方程，用待定系数法求函数解析式等基础知识，还结合等腰三角形的性质考查了点的存在性问题，有一定的开放性．
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