直线l：ykx1与曲线yf（x）没有公共点，求k的最大值．
考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）依题意，f′（1）0，从而可求得a的值；（Ⅱ）f′（x）1，分①a≤0时②a＞0讨论，可知f（x）在∈（∞，l
a）上单调递减，
在（l
a，∞）上单调递增，从而可求其极值；（Ⅲ）令g（x）f（x）（kx1）（1k）x，则直线l：ykx1与曲线yf（x）
没有公共点方程g（x）0在R上没有实数解，分k＞1与k≤1讨论即可得答案．解答：解：（Ⅰ）由f（x）x1，得f′（x）1，
又曲线yf（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，∴f′（1）0，即10，解得ae．
（Ⅱ）f′（x）1，
①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）为（∞，∞）上的增函数，所以f（x）无极值；②当a＞0时，令f′（x）0，得exa，xl
a，x∈（∞，l
a），f′（x）＜0；x∈（l
a，∞），f′（x）＞0；∴f（x）在∈（∞，l
a）上单调递减，在（l
a，∞）上单调递增，故f（x）在xl
a处取到极小值，且极小值为f（l
a）l
a，无极大值．综上，当当a≤0时，f（x）无极值；当a＞0时，f（x）在xl
a处取到极小值l
a，无极大值．（Ⅲ）当a1时，f（x）x1，令g（x）f（x）（kx1）（1k）x，
则直线l：ykx1与曲线yf（x）没有公共点，等价于方程g（x）0在R上没有实数解．
f假设k＞1，此时g（0）1＞0，g（）1
＜0，
又函数g（x）的图象连续不断，由零点存在定理可知g（x）0在R上至少有一解，与“方程g（x）0在R上没有实数解”矛盾，故k≤1．又k1时，g（x）＞0，知方程g（x）0在R上没有实数解，
所以k的最大值为1．点评：本题考查利用导数研究函数的极值，考查利用导数研究曲线上某点切线方程，突出分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，属于中档题．
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