第一章习题解答（一）1．设z13i，求z及Arcz。
2
解：由于z13ie3i
2
所以z1，Arcz2kk01
3
。
2．设z11iz231，试用指数形式表示z1z2及z1。
2
z2
ii1i4ez23i2e6解：由于z12
所以z1z2e42e
i

i
i6

2e
i46

2e12

i
iiz1e41154612ee。iz2222e63．解二项方程z4a40a0。
解：z
aaeae
44
22
14i4
2k
4
i
k0123。
4．证明z1z2z1z2证明：由于z1z2
2
2z1z22，并说明其几何意义。
2
2
z1z22Rez1z2
22
2
z1z2z1z22Rez1z2
所以z1z2z1z2
22
2z1z22
其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。5．设z1，z2，z3三点适合条件：接于单位圆
z1z2z30z1z2z31。证明z1，z2，z3是内
z1
的一个正三角形的顶点。，知
z证由于1
因为
z2z31
3
z1z2z3的三个顶点均在单位圆上。
1z3z3z3
z1z2z1z2z1z1z2z2z3z2z1z2
2z1z2z1z2
所以，又
z1z2z1z21，
z1z2z1z2z1z2z1z1z2z2z1z2z2z1
2
2z1z2z1z23
1
f故同理
z1z23
，
z1z3z2z33，知z1z2z3是内接于单位圆z1的一个正三角形。
6．下列关系表示点z的轨迹的图形是什么？它是不是区域。（1）zz1zz2z1z2；解：点
z的轨迹是z与z
1
2
两点连线的中垂线，不是区域。
（2）zz4；解：令zxyi由xyix4yi，即x2y2x42y2，得x2故点
z的轨迹是以直线x2为边界的左半平面（包括直线x2）；不是区域。
z11z1解：令zxyi，
（3）由z1z1，得x12x12，即x0；故点
z的轨迹是以虚轴为边界的右半平面（不包括虚轴）；是区域。
4且2Rez3；
（4）0argz1解：令zxyi
y0yx10argz10arg由4，得x14，即2x32x32Rez3
故点
z的轨迹是以直线x2x3y0yx1为边界的梯形（包括直线x2x3；
不包括直线y0yx1）；不是区域。（5）z2且z31；解：r