②解得

x1


y1

3212
xx

1232
yy
1
…③
1
又点Q在双曲线x2y21上，x12y121…④
f③代入④，得动点P的轨迹方程为2x22y22x2y10
变式3已知△ABC的顶点B3，0，C1，0，顶点A在抛物线yx2上运动，求△ABC的重
心G的轨迹方程．
解：设
Gx，y
，
Ax0，y0
，由重心公式，得

x

y

313
y0，
x0
，
∴

x0
y0

3x2，3y．
3
①
又
②
∵Ax0，y0在抛物线yx2上，∴y0x02．③
将①，②代入③，得3y3x22y0，
即所求曲线方程是y3x24x4y0．3
题型四参数法选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标xy，得出轨迹的参数方程，消去参数，即得其
普通方程，选参数时必须首先充分考虑到制约动点的各种因素，然后在选取合适的参数，因为参数不同，会导致运算量的不同，常见的参数有截距、角度、斜率、线段长度等。
例4已知线段AA2a，直线l垂直平分AA于O，在l上取两点P，P，使有向线段OP，OP
满足OPOP4，求直线AP与AP的交点M的轨迹方程．
解：如图2，以线段AA所在直线为x轴，以线段AA的中垂线为y轴建立直角坐标系．设点P0，tt0，
则由题意，得
P
0，4t

．
由点斜式得直线AP，AP的方程分别为ytxa，y4xa．
a
ta
两式相乘，消去t，得4x2a2y24a2y0．
这就是所求点M的轨迹方程．
变式4设椭圆方程为x2y21，过点M01的直线l交椭圆于点A，B，O是坐标原点，4
l上的动点P满足OP1OAOB，点N的坐标为11，当l绕点N旋转时，求：
2
22
（1）动点P的轨迹方程；（2）NP的最小值与最大值
分析：（1）设出直线l的方程，与椭圆方程联立，求出x1x2y1y2，进而表示出点P坐
f标，用消参法求轨迹方程；（2）将NP表示成变量x的二次函数。解：（1）法一：直线l过点M01，当l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为
ykx1。设Ax1y1，Bx2y2，由题设可列方程为
ykx1①


x
2

y24
1
②
将①代入②并化简得：4k2x22kx30，
所以
x1

y1

x2y2

2k4k8
4k2
2
于是OP

12
OA

OB


x1
2
x2

y1
2
y2


k4k
2

4
4k
2

设点P的坐标为xy，则

x

k4k
2


y

4
4k2
消去参数k得4x2y2y0…③
当直线l的斜率不存在时，A，B的中点坐标为原点00，也满足方程③，
所以点P的轨迹方程为4x2y2y0。
法二：设点P的坐标为xy，因Ax1y1，Bx2y2在椭圆上，所以

x12

y124
1
④


x2
2

y224
1
⑤
④⑤得：
x12

x22

1r